作者：翟天保Steven
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场景需求

       做图像处理，滤波是家常便饭，今天给大家分享最基本的理想滤波器实现。

       众所周知，在频谱中，低频主要对应图像在平滑区域的总体灰度级分布，高频对应图像细节部分，如边缘和噪声。理想滤波器的原理就是利用截止频率D作为截断点，高通则小于截止频率的频谱成分变0，低通则大于截止频率的频谱成分变0，公式和具体原理就不再罗列了，百度一下全都有，接下来是硬货——C++&OpenCV代码实现。

相关功能函数的C++实现代码

// 理想低通滤波器
cv::Mat ideal_low_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma)
{
	cv::Mat padded = image_make_border(src);
	cv::Mat ideal_kernel = ideal_low_kernel(padded, sigma);
	cv::Mat result = frequency_filter(padded, ideal_kernel);
	return result;
}

// 理想低通滤波核函数
cv::Mat ideal_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma)
{
	cv::Mat ideal_low_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1
	float d0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
	for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
		for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
			float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型
			if (d <= d0) {
				ideal_low_pass.at<float>(i, j) = 1;
			}
			else {
				ideal_low_pass.at<float>(i, j) = 0;
			}
		}
	}
	return ideal_low_pass;
}

// 理想高通滤波
cv::Mat ideal_high_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma)
{
	cv::Mat padded = image_make_border(src);
	cv::Mat ideal_kernel = ideal_high_kernel(padded, sigma);
	cv::Mat result = frequency_filter(padded, ideal_kernel);
	return result;
}

// 理想高通滤波核函数
cv::Mat ideal_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma)
{
	cv::Mat ideal_high_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1
	float d0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
	for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
		for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
			float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型
			if (d <= d0) {
				ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 0;
			}
			else {
				ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 1;
			}
		}
	}
	return ideal_high_pass;
}

// 频率域滤波
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur)
{
	cv::Mat mask = scr == scr;
	scr.setTo(0.0f, ~mask);

	//创建通道，存储dft后的实部与虚部（CV_32F，必须为单通道数）
	cv::Mat plane[] = { scr.clone(), cv::Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1) };

	cv::Mat complexIm;
	cv::merge(plane, 2, complexIm); // 合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）
	cv::dft(complexIm, complexIm); // 进行傅立叶变换，结果保存在自身

	// 分离通道（数组分离）
	cv::split(complexIm, plane);

	// 以下的操作是频域迁移
	fftshift(plane[0], plane[1]);

	// *****************滤波器函数与DFT结果的乘积****************
	cv::Mat blur_r, blur_i, BLUR;
	cv::multiply(plane[0], blur, blur_r);  // 滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）
	cv::multiply(plane[1], blur, blur_i);  // 滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）
	cv::Mat plane1[] = { blur_r, blur_i };

	// 再次搬移回来进行逆变换
	fftshift(plane1[0], plane1[1]);
	cv::merge(plane1, 2, BLUR); // 实部与虚部合并

	cv::idft(BLUR, BLUR);       // idft结果也为复数
	BLUR = BLUR / BLUR.rows / BLUR.cols;

	cv::split(BLUR, plane);//分离通道，主要获取通道

	return plane[0];
}

// 图像边界处理
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src)
{
	int w = cv::getOptimalDFTSize(src.cols); // 获取DFT变换的最佳宽度
	int h = cv::getOptimalDFTSize(src.rows); // 获取DFT变换的最佳高度

	cv::Mat padded;
	// 常量法扩充图像边界，常量 = 0
	cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, h - src.rows, 0, w - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));
	padded.convertTo(padded, CV_32FC1);

	return padded;
}

// fft变换后进行频谱搬移
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{
	// 以下的操作是移动图像  (零频移到中心)
	int cx = plane0.cols / 2;
	int cy = plane0.rows / 2;
	cv::Mat part1_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)
	cv::Mat part2_r(plane0, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
	cv::Mat part3_r(plane0, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
	cv::Mat part4_r(plane0, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

	cv::Mat temp;
	part1_r.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(实部)
	part4_r.copyTo(part1_r);
	temp.copyTo(part4_r);

	part2_r.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(实部)
	part3_r.copyTo(part2_r);
	temp.copyTo(part3_r);

	cv::Mat part1_i(plane1, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  //元素坐标(cx,cy)
	cv::Mat part2_i(plane1, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
	cv::Mat part3_i(plane1, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
	cv::Mat part4_i(plane1, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

	part1_i.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(虚部)
	part4_i.copyTo(part1_i);
	temp.copyTo(part4_i);

	part2_i.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(虚部)
	part3_i.copyTo(part2_i);
	temp.copyTo(part3_i);
}

测试代码

#include<iostream>
#include<opencv2/opencv.hpp>
#include<ctime>
using namespace std;
using namespace cv;

cv::Mat ideal_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma);
cv::Mat ideal_low_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma);
cv::Mat ideal_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma);
cv::Mat ideal_high_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma);
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur);
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src);
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1);

int main(void)
{
	Mat test = imread("tangsan.jpg", 0);
	float D0 = 50.0f;
	float D1 = 5.0f;
	Mat lowpass = ideal_low_pass_filter(test, D0);
	Mat highpass = ideal_high_pass_filter(test, D1);

	imshow("original", test);
	imshow("low pass", lowpass / 255);
	imshow("high pass", highpass/255);
	waitKey(0);

	system("pause");
	return 0;
}

// 理想低通滤波器
cv::Mat ideal_low_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma)
{
	cv::Mat padded = image_make_border(src);
	cv::Mat ideal_kernel = ideal_low_kernel(padded, sigma);
	cv::Mat result = frequency_filter(padded, ideal_kernel);
	return result;
}

// 理想低通滤波核函数
cv::Mat ideal_low_kernel(cv::Mat &scr, float sigma)
{
	cv::Mat ideal_low_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1
	float d0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
	for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
		for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
			float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型
			if (d <= d0) {
				ideal_low_pass.at<float>(i, j) = 1;
			}
			else {
				ideal_low_pass.at<float>(i, j) = 0;
			}
		}
	}
	return ideal_low_pass;
}

// 理想高通滤波核函数
cv::Mat ideal_high_kernel(cv::Mat &scr, float sigma)
{
	cv::Mat ideal_high_pass(scr.size(), CV_32FC1); //，CV_32FC1
	float d0 = sigma;//半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
	for (int i = 0; i < scr.rows; i++) {
		for (int j = 0; j < scr.cols; j++) {
			float d = sqrt(pow(float(i - scr.rows / 2), 2) + pow(float(j - scr.cols / 2), 2));//分子,计算pow必须为float型
			if (d <= d0) {
				ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 0;
			}
			else {
				ideal_high_pass.at<float>(i, j) = 1;
			}
		}
	}
	return ideal_high_pass;
}

// 理想高通滤波
cv::Mat ideal_high_pass_filter(cv::Mat &src, float sigma)
{
	cv::Mat padded = image_make_border(src);
	cv::Mat ideal_kernel = ideal_high_kernel(padded, sigma);
	cv::Mat result = frequency_filter(padded, ideal_kernel);
	return result;
}

// 频率域滤波
cv::Mat frequency_filter(cv::Mat &scr, cv::Mat &blur)
{
	cv::Mat mask = scr == scr;
	scr.setTo(0.0f, ~mask);

	//创建通道，存储dft后的实部与虚部（CV_32F，必须为单通道数）
	cv::Mat plane[] = { scr.clone(), cv::Mat::zeros(scr.size() , CV_32FC1) };

	cv::Mat complexIm;
	cv::merge(plane, 2, complexIm); // 合并通道 （把两个矩阵合并为一个2通道的Mat类容器）
	cv::dft(complexIm, complexIm); // 进行傅立叶变换，结果保存在自身

	// 分离通道（数组分离）
	cv::split(complexIm, plane);

	// 以下的操作是频域迁移
	fftshift(plane[0], plane[1]);

	// *****************滤波器函数与DFT结果的乘积****************
	cv::Mat blur_r, blur_i, BLUR;
	cv::multiply(plane[0], blur, blur_r);  // 滤波（实部与滤波器模板对应元素相乘）
	cv::multiply(plane[1], blur, blur_i);  // 滤波（虚部与滤波器模板对应元素相乘）
	cv::Mat plane1[] = { blur_r, blur_i };

	// 再次搬移回来进行逆变换
	fftshift(plane1[0], plane1[1]);
	cv::merge(plane1, 2, BLUR); // 实部与虚部合并

	cv::idft(BLUR, BLUR);       // idft结果也为复数
	BLUR = BLUR / BLUR.rows / BLUR.cols;

	cv::split(BLUR, plane);//分离通道，主要获取通道

	return plane[0];
}

// 图像边界处理
cv::Mat image_make_border(cv::Mat &src)
{
	int w = cv::getOptimalDFTSize(src.cols); // 获取DFT变换的最佳宽度
	int h = cv::getOptimalDFTSize(src.rows); // 获取DFT变换的最佳高度

	cv::Mat padded;
	// 常量法扩充图像边界，常量 = 0
	cv::copyMakeBorder(src, padded, 0, h - src.rows, 0, w - src.cols, cv::BORDER_CONSTANT, cv::Scalar::all(0));
	padded.convertTo(padded, CV_32FC1);

	return padded;
}

// fft变换后进行频谱搬移
void fftshift(cv::Mat &plane0, cv::Mat &plane1)
{
	// 以下的操作是移动图像  (零频移到中心)
	int cx = plane0.cols / 2;
	int cy = plane0.rows / 2;
	cv::Mat part1_r(plane0, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  // 元素坐标表示为(cx, cy)
	cv::Mat part2_r(plane0, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
	cv::Mat part3_r(plane0, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
	cv::Mat part4_r(plane0, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

	cv::Mat temp;
	part1_r.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(实部)
	part4_r.copyTo(part1_r);
	temp.copyTo(part4_r);

	part2_r.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(实部)
	part3_r.copyTo(part2_r);
	temp.copyTo(part3_r);

	cv::Mat part1_i(plane1, cv::Rect(0, 0, cx, cy));  //元素坐标(cx,cy)
	cv::Mat part2_i(plane1, cv::Rect(cx, 0, cx, cy));
	cv::Mat part3_i(plane1, cv::Rect(0, cy, cx, cy));
	cv::Mat part4_i(plane1, cv::Rect(cx, cy, cx, cy));

	part1_i.copyTo(temp);  //左上与右下交换位置(虚部)
	part4_i.copyTo(part1_i);
	temp.copyTo(part4_i);

	part2_i.copyTo(temp);  //右上与左下交换位置(虚部)
	part3_i.copyTo(part2_i);
	temp.copyTo(part3_i);
}

测试效果

       注意频率域的频谱迁移哦，我之前写的代码少了这部分导致结果异常，已修复~如果之前有参考错误的同学，麻烦按照上文最新的代码修改下。

      另外，如果我的代码有什么问题，欢迎大家提出异议批评指正，一同进步~

       如果文章帮助到你了，可以点个赞让我知道，我会很快乐~加油！