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清华笔记：计算共形几何讲义 （23）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）V
前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论，曲面上配备着欧氏度量带有奇异点。这次，我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论。对于欧拉示性数为负的曲面，其单值化度量自然是双曲度量。双曲度量具有非常多...
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （12）极值长度
图1. 圆柱面的共形模。拓扑等价的度量曲面是否共形等价，亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射，这是一个微妙的问题。几何上，我们需要寻找共形变换下的全系不变量，通过比较不...
2年前
深度学习的几何理解（3） – 概率变换的几何观点
（最近，哈佛大学丘成桐先生领导的团队，大连理工大学罗钟铉教授、雷娜教授领导的团队应用几何方法研究深度学习。老顾受邀在一些大学和科研机构做了题为“深度学习的几何观点”的报告，汇报了这...
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （22）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）IV
设计黎曼度量又是计算机图形学、计算机视觉、计算力学、医学图像等领域最为基本的问题之一。许多工程中的关键问题可以归结为设计一种特殊的黎曼度量。离散曲面Ricci流是通过曲率来设计黎曼度量...
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （11）黎曼映照（Riemann Mapping）的存在性
共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在...
2年前
深度学习的几何理解（2） – 学习能力的上限
（最近，哈佛大学丘成桐先生领导的团队，大连理工大学罗钟铉教授、雷娜教授领导的团队应用几何方法研究深度学习。老顾受邀在一些大学和科研机构做了题为“深度学习的几何观点”的报告，汇报了这...
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （21）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）III
以前章节，我们介绍了曲面曲率流的一种离散形式-离散Yamabe流，主要操作是顶点缩放（Vertex Scaling）来共形变换度量来实现目标曲率。在实践中，往往多面体曲面的三角剖分是固定的。如果给定一...
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清华笔记：计算共形几何讲义 （10）纪念米尔扎哈尼——泰希米勒（Teichmuller）空间
多年以前，我还在哈佛求学，导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论，McMullen用组合的方法来研究共形结构，非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解...
2年前
《计算共形几何》教程第一章
【最近老顾等人合著的汉语教程《计算共形几何》已经完成初稿。这里我们将第一章公布，其他章节会在清华暑期课程中讲授。希望大家批评指正，不吝赐教。有兴趣预定者，请联系gu@cmsa.fas.harvard....
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （20）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）II
为了证明离散曲率流解的存在性，我们需要一些较为独特的数学工具，特别是双曲几何的理论知识。这次课程，我们讲解简单的双曲几何知识，特别是如何将一个带有锥奇异点的平直度量变换成完备双曲度...
2年前
清华笔记：计算共形几何讲义 （9）全纯微分
双全纯函数图1. Escher 效果：双全纯函数是复平面间的共形映射。黎曼面图2. 黎曼面的概念。黎曼面和黎曼度量黎曼面之间的全纯映射图3. 黎曼面间的双全纯映射。亚纯微分黎曼面上的微分形式的定义...
2年前
超材料设计中的共形几何
依随三维打印技术的推广成熟，增材制造工艺的日益普及，超材料设计的理论和方法蓬勃发展。超材料（meta-material）指的是自然界中所没有的一类具有特殊性质的人造材料。这类材料具有特异的光、...
2年前