OpenCASCADE Root-Finding Algorithm

OpenCASCADE Root-Finding Algorithm

eryar@163.com

Abstract. A root-finding algorithm is a numerical method, or algorithm, for finding a value x such that f(x)=0, for a given function f. Such an x is called a root of the function f. In OpenCASCADE math package, implemente Newton-Raphson method to find the root for a function. The algorithm can be used for finding the extrema value for curve or surface, .i.e Point Inversion, find the parameter for a point on the curve or surface. The paper focus on the usage of OpenCASCADE method and its application. 

Key Words. OpenCASCADE, Extrema, Newton-Raphson, Root-Finding, FunctionRoot 

1. Introduction

代数方程求根问题是一个古老的数学问题,早在16世纪就找到了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明n>=5次的一般代数方程式不能用代数公式求解。在工程和科学技术中,许多问题常常归结为求解非线性方程的问题,因此,需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数方程式的近似解。 

我国古代宋朝数学家秦九韶在他1247年所著的《数书九章》中,给出一个求代数方程根的近似方法,这个方法一般书上都称为和纳Horner方法(英国数学家W.G.Horner)。实际上Horner在1819年才提出这个方法,比秦九韶晚五百多年。每当看到教科书中这样的介绍不知是该骄傲,还是该嗤之以鼻。古人发明创造的东西比外国人早,而现在国内用于CAD、CAM的软件大都是国外进口的,像CATIA,AutoCAD,Pro/E,UG NX,SolidWorks,AVEVA Plant/Marine,Intergraph,ACIS,Parasolid……等等不胜枚举,很少看到中国软件的身影。而这些软件广泛应用于航空、造船、机械设计制造、工厂设计等各个行业,每年的软件授权费用不知几何?衷心希望当代国人奋发作为,为世界增添色彩。 

闲话少说,本文主要关注非线性方程的数值解法,重点介绍了Newton-Rophson法及在OpenCASCADE中应用,即求点到曲线曲面的极值,也就是曲线曲面点的反求参数问题。对数值算法感兴趣的读者,可以参考《数值分析》、《计算方法》之类的书籍以获取更详细信息。 

2.Numerical Methods

方程求根的方法有很多,在《数学手册》中列举了如下一些方法: 

v 秦九韶法; 

v 二分法; 

v 迭代法; 

v 牛顿法Newton’s Method; 

v 弦截法; 

v 抛物线法; 

v 林士谔-赵访熊法; 

其中二分法是求实根的近似计算中行之有效的最简单的方法,它只要求函数是连续的,因此它的使用范围很广,并便于在计算机上实现,但是它不能求重根也不能求虚根,且收敛较慢。 

Newton法在单根邻近收敛快,具有二阶收敛速度,但Newton法对初值要求比较苛刻,即要求初值选取充分靠近方程的根,否则Newton法可能不收敛。扩大初值的选取范围,可采用Newton下山法。 

Newton’s Method的实现原理的演示动画如下图所示: 

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/NewtonIteration_Ani.gif

Figure 2.1 Newton’s Method(Newton-Raphson)  

由上面的动画可以清楚理解Newton法的原理。用数学的文字描述如下:设f(x)二次连续可导,xk是f(x)=0的第k次近似解。我们用曲线y=f(x)过点(xk,yk)的切线Lk: 

wps_clip_image-14907

来近似曲线f(x)。取Lk与X轴的交点为f(x)=0的第k+1次近似解为: 

wps_clip_image-17600

wps_clip_image-25907

Figure 3.2 Newton-Raphson Method 

其中: 

wps_clip_image-29445

称为Newton公式。 

Newton法对初值x0要求苛刻,在实际应用中往往难以满足。Newton下山法是一种降低对初值要求的修正Newton法。 

关于Newton方法的公开课的视频我找到网易上有节课,介绍了Newton方法的原理及用法,网址为:http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html,在后半部分。老师用实际例子来讲解还挺有意思的,感兴趣的读者也可以完整地看看,也可复习下微积分的知识点。 

3.OpenCASCADE Function Root

OpenCASCADE的math包中实现了方程求根的算法,相关的类有math_FunctionRoot,math_FunctionRoots,math_NewtonFunctionRoot等。在《Fundation Classes User’s Guide》中有对通用数学算法的介绍,即OpenCASCADE中实现了常见的数学算法: 

v 求解线性代数方程的根的算法; 

v 查找方程极小值的算法; 

v 查找非线性方程(组)的根; 

v 查找对角矩阵的特征值及特征向量的算法; 

所有的数学算法以相同的方式来实现,即:在构造函数中来做大部分的计算,从而给出适当的参数。所有相关数据都保存到结果对象中,因此所有的计算尽量以最高效的方式来求解。函数IsDone()表明计算成功。如下所示分别为采用不同的算法来计算如下方程在[0,2]区间上的根: 

wps_clip_image-11905

实现程序代码如下所示: 

/*
*    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2014-10-20 18:52
*        Version : 1.0v
*
*    Description : Test OpenCASCADE function root algorithm.
*
*      Key words : OpenCASCADE, Newton-Raphson, Root-Finding Algorithm, FunctionRoot
*/

#define WNT

#include <Precision.hxx>

#include <math_FunctionWithDerivative.hxx>

#include <math_BissecNewton.hxx>
#include <math_FunctionRoot.hxx>
#include <math_NewtonFunctionRoot.hxx>

#pragma comment(lib, \"TKernel.lib\")
#pragma comment(lib, \"TKMath.lib\")

class TestFunction : public math_FunctionWithDerivative
{
public:
    virtual Standard_Boolean Value(const Standard_Real X, Standard_Real& F)
    {
        F = pow(X, 6) - X - 1;

        return Standard_True;
    }

    virtual Standard_Boolean Derivative(const Standard_Real X, Standard_Real& D)
    {
        D = 6 * pow(X, 5) - 1;

        return Standard_True;
    }

    virtual Standard_Boolean Values(const Standard_Real X, Standard_Real& F, Standard_Real& D)
    {
        Value(X, F);

        Derivative(X, D);

        return Standard_True;
    }
};

void TestFunctionRoot(void)
{
    TestFunction aFunction;

    math_FunctionRoot aSolver1(aFunction, 1.5, 0.0, 0.0, 2.0);

    math_BissecNewton aSolver2(aFunction, 0.0, 2.0, 0.0);

    math_NewtonFunctionRoot aSolver3(aFunction, 1.5, Precision::Confusion(), Precision::Confusion());

    std::cout << aSolver1 << std::endl;
    std::cout << aSolver2 << std::endl;
    std::cout << aSolver3 << std::endl;
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    TestFunctionRoot();

    return 0;
}

由上述代码可知,要想使用求根算法,必须从math_FunctionWithDerivative派生且重载其三个纯虚函数Value(), Derivative(), Values(),在这三个纯虚函数中计算相关的值及导数值即可。所以实际使用时,正确重载这三个函数是正确使用求根算法的关键。 

求根用了三个不同的类,即三种方法来实现: 

v math_FunctionRoot:即Newton-Raphson法; 

v math_BissecNewton:是Newton-Raphson和二分法的组合算法; 

v math_NewtonFunctionRoot:Newton Method; 

计算结果如下图所示: 

wps_clip_image-30180

Figure 3.1 Root-Finding result of OpenCASCADE 

由计算结果可知,三种方法计算的结果相同,都是1.13472,与书中结果吻合。但是math_NewtonFunctionRoot的迭代次比math_FunctionRoot多一次,且计算精度要低很多。 

使用math_BissecNewton求根不用设置初始值,比较方便,精度与math_FunctionRoot一致。 

4.Application

在工程和科学技术中,许多问题常常归结为求解非线性方程的问题。在OpenCASCADE中的应用更多了,从下面一张类图可见一斑: 

wps_clip_image-30754

Figure 4.1 math_FunctionWithDerivative class diagram 

由图可知,从类math_FunctionWithDerivative派生出了很多可导函数的类,这些函数都可用于求根的类中,从而计算出对应方程的根。 

下面给出一个实际应用,即曲线曲面上点的反求问题,来说明如何应用上述求根算法来解决实际的问题。由于曲线曲面的参数表示法,通过参数u或(u,v)可以方便地求出曲线上的点或曲面上的点。若给定一个点P(x,y,z),假设它在p次NURBS曲线C(u)上,求对应的参数u’使得C(u’)=P,这个问题称为点的反求(point inverse)。在OpenCASCADE中提供了简单的函数接口来实现点的反求,使用类为GeomLib_Tool: 

wps_clip_image-22117

如何将点的反求问题归结为方程求根的问题,就要根据条件来建立方程了。一种简单并完全可以解决这一问题的方法是:利用Newton迭代法来最小化点P和C(u)的距离,如下图所示。如果最小距离小于一个事先指定的精度值,则认为点P在曲线上。这种方法有效地解决了更一般的“点在曲线上的投影”的问题。 

因为方程求根的Newton方法需要指定初值u0,所以可按如下方法得到一个用于Newton法的初值u0: 

v 如果已知点P在给定精度内位于曲线上,则用强凸包性确定候选的段,对于一般的点到曲线的投影问题,则选择所要的段作为候选段; 

v 在每个候选段上,计算n个按参数等间隔分布的点。计算出所有这些点和点P的距离,选择其中距点P最近的点的参数作为u0。点数n一般利用某种启发的方法来选择。 

wps_clip_image-529

Figure 4.2 Point projection and Point inversion 

需要强调的是使用Newton方法,一个好的初值对于迭代的收敛性及收敛速度是非常重要的。现在假设已经确定了初值u0,利用数量积定义函数: 

wps_clip_image-2914

不管P点是否位于曲线上,当f(u)=0时,点P到C(u)的距离达到最小。对f(u)求导得: 

wps_clip_image-27493

代入Newton迭代公式得: 

wps_clip_image-13481

在OpenCASCADE中曲线点的反求主要是使用了派生自math_FunctionWithDerivative的类Extrema_PCFOfEPCOfExtPC,类图如下所示: 

wps_clip_image-17760

Figure 4.3 class diagram for point inverstion 

所以需要实现三个纯虚函数Value(), Derivative(), Values(),将其实现代码列出如下所示: 

Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Value (const Standard_Real U, Standard_Real& F)
{
  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();
  myU = U;
  Vec D1c;
  Tool::D1(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c);
  Standard_Real Ndu = D1c.Magnitude();
  if (Ndu <= Tol) { // Cas Singulier (PMN 22/04/1998)
    Pnt P1, P2;
    P2 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU + delta);
    P1 = Tool::Value(*((Curve*)myC),myU - delta);
    Vec V(P1,P2);
    D1c = V;
    Ndu = D1c.Magnitude();
    if (Ndu <= Tol) {
      Vec aD2;
      Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,aD2);    
      Ndu = aD2.Magnitude();
     
      if(Ndu  <= Tol)
       return Standard_False;
      D1c = aD2;    
    }
  }
  
  Vec PPc (myP,myPc);
  F = PPc.Dot(D1c)/Ndu;
  return Standard_True;
}
//=============================================================================

Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Derivative (const Standard_Real U, Standard_Real& D1f)
{
  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();
  Standard_Real F;
  return Values(U,F,D1f);  /* on fait appel a Values pour simplifier la
                  sauvegarde de l\'etat. */
}
//=============================================================================

Standard_Boolean Extrema_FuncExtPC::Values (const Standard_Real U, Standard_Real& F, Standard_Real& D1f)
{
  if (!myPinit || !myCinit) Standard_TypeMismatch::Raise();
  myU = U;
  Vec D1c,D2c;
  Tool::D2(*((Curve*)myC),myU,myPc,D1c,D2c);

  Standard_Real Ndu = D1c.Magnitude();
  if (Ndu <= Tol) {// Cas Singulier (PMN 22/04/1998)
    Pnt P1, P2;
    Vec V1;
    Tool::D1(*((Curve*)myC),myU+delta, P2, V1);
    Tool::D1(*((Curve*)myC),myU-delta, P1, D2c);
    Vec V(P1,P2);
    D1c = V;
    D2c -= V1;
    Ndu = D1c.Magnitude();
    if (Ndu <= Tol) {
      myD1Init = Standard_False;
      return Standard_False;
    }
  }
  
  Vec PPc (myP,myPc);
  F = PPc.Dot(D1c)/Ndu;
  D1f = Ndu + (PPc.Dot(D2c)/Ndu) - F*(D1c.Dot(D2c))/(Ndu*Ndu);

  myD1f = D1f;
  myD1Init = Standard_True;
  return Standard_True;
}

根据代码可知,实现原理与上述一致。下面给出一个简单的例子,来说明及方便调试点的反求算法。示例程序代码如下所示: 

/*
*    Copyright (c) 2014 eryar All Rights Reserved.
*
*        File    : Main.cpp
*        Author  : eryar@163.com
*        Date    : 2014-10-20 18:52
*        Version : 1.0v
*
*    Description : Test OpenCASCADE function root algorithm.
*
*      Key words : OpenCascade, Extrema, Newton\'s Method
*/

#define WNT

#include <math_FunctionRoots.hxx>
#include <math_NewtonFunctionRoot.hxx>

#include <Extrema_PCFOfEPCOfExtPC.hxx>

#include <GC_MakeCircle.hxx>

#include <GeomAdaptor_Curve.hxx>

#pragma comment(lib, \"TKernel.lib\")
#pragma comment(lib, \"TKMath.lib\")
#pragma comment(lib, \"TKG3d.lib\")
#pragma comment(lib, \"TKGeomBase.lib\")


void TestExtrema(void)
{
    Handle_Geom_Curve aCircle = GC_MakeCircle(gp::XOY(), 2.0);

    GeomAdaptor_Curve aCurve(aCircle);

    Extrema_PCFOfEPCOfExtPC aFunction(aCircle->Value(0.123456789), aCurve);

    math_FunctionRoots aSolver1(aFunction, -2.0, 2.0, 10);
    math_NewtonFunctionRoot aSolver2(aFunction, 0.0, 0.0, 0.0);

    aSolver1.Dump(std::cout);
    std::cout << \"========================================\" << std::endl;
    aSolver2.Dump(std::cout);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    TestExtrema();

    return 0;
}

根据圆上一点,求出对应的参数值,计算结果如下所示: 

wps_clip_image-5220

5.Conclusion

Newton法可以选作对导数能有效求值,且导数在根的邻域中连续的任何函数方程的求根方法。Newton法在单根邻近收敛快,精度高,具有二阶收敛速度,但Newton法对初值要求比较高,即要求初值选取充分靠近方程的根,否则Newton法可能不收敛。 

OpenCASCADE的math包中提供了求根的几种实现算法,虽然代码有些乱,但是这种抽象的思想还是相当不错的,便于扩展应用。理解了math_FunctionRoot的算法,进而可以理解从math_FunctionWithDerivative派生的类的原理了。 

通过曲线上点的反求问题引出使用求根算法的具体实例,从中可以看出关键还是要将实际问题抽象成一个方程。有了方程,根据Newton迭代公式,求出相应的值和导数值,就可以得到方程的高精度的根了。 

对数值算法感兴趣的读者,可以参考《计算方法》、《数值分析》等相关书籍,从而可以在理解OpenCASCADE的代码的基础上,可以自己来实现相关算法。 

6. References

1. 数学手册编写组. 数学手册. 高等教育出版社. 1979 

2. 赵罡,穆国旺,王拉柱译. 非均匀有理B样条. 清华大学出版社. 2010 

3. Les Piegl, Wayne Tiller. The NURBS Book. Springer-Verlag. 1997 

4. 易大义,沈云宝,李有法编. 计算方法. 浙江大学出版社. 2002 

5. 易大义,陈道琦编. 数值分析引论. 浙江大学出版社. 1998 

6. 李庆杨,王能超,易大义.数值分析.华中理工大学出版社. 1986 

7. 同济大学数学教研室. 高等数学(第四版). 高等教育出版社. 1996 

8. Newton\’s Method video:  

http://v.163.com/movie/2006/8/T/V/M6GLI5A07_M6GLLGSTV.html

9. http://en.wikipedia.org/wiki/Root-finding_algorithm

10. http://mathworld.wolfram.com/Root-FindingAlgorithm.html

11. http://mathworld.wolfram.com/NewtonsMethod.html

 

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