本篇将介绍基于geometry module的2D 、3D旋转和投影或仿射变换。

Eigen中的Geometry module提供了两种不同的几何变换：

抽象变换，如旋转（rotation 由角和轴表示或由四元数表示）、平移(translation)、缩放(scaling)。这些转换不表示为矩阵，但您仍然可以将它们与表达式中的矩阵和向量混合，并根据需要将它们转换为矩阵。
投影或仿射变换矩阵：参见Transform类。这些以矩阵的形式进行表示。

可以从抽象转换构造一个Transform，就像这样：

Transform t(AngleAxis(angle,axis));

或者像这样：

Transform t;
t = AngleAxis(angle,axis);

但是根据C++的机制，不可以通过如下方式定义：

Transform t = AngleAxis(angle,axis);

解释：在C++语言中，这需要一个从AngleAxis到Transform的非显式转换构造函数，但是我们确实不希望允许在这里隐式转换。

1. Transformation的类型

Transformation type 转换类型	Typical initialization code 典型初始化代码	–
2D rotation from an angle 2D 旋转只需一个旋转角度	Rotation2D rot2(angle_in_radian);
3D rotation as an angle + axis 3D旋转需要旋转角度+旋转轴	AngleAxis aa(angle_in_radian, Vector3f(ax,ay,az)); The axis vector must be normalized.
3D rotation as a quaternion 四元数形式的3D旋转	Quaternion q; q = AngleAxis(angle_in_radian, axis);	提供了两类方便的类型定义： Quaternionf for float Quaterniond for double 也可以直接给定参数： quater.x() = 0; quater.y() = 0; quater.z() = sin(M_PI/2.0 / 2.0); quater.w() = cos(M_PI/2.0 / 2.0);
N-D Scaling 尺度缩放	Scaling(sx, sy) Scaling(sx, sy, sz) Scaling(s) Scaling(vecN)
N-D Translation 平移	Translation<float,2>(tx, ty) Translation<float,3>(tx, ty, tz) Translation<float,N>(s) Translation<float,N>(vecN)
N-D Affine transformation 仿射变换	Transform<float,N,Affine> t = concatenation_of_any_transformations; Transform<float,3,Affine> t = Translation3f§ * AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s);	放射变换是一些变换的结合，按平移×旋转×缩放的顺序连乘
N-D Linear transformations (pure rotations, scaling, etc.) 线性变换	Matrix<float,N> t = concatenation_of_rotations_and_scalings; Matrix<float,2> t = Rotation2Df(a) * Scaling(s); Matrix<float,3> t = AngleAxisf(a,axis) * Scaling(s);

(1) AngleAxis示例：
结合MatrixBase::Unit{X,Y,Z}，可以用AngleAxis方便的模仿Euler-angles。

// Code:
Matrix3f m;
m = AngleAxisf(0.25*M_PI, Vector3f::UnitX())
  * AngleAxisf(0.5*M_PI,  Vector3f::UnitY())
  * AngleAxisf(0.33*M_PI, Vector3f::UnitZ());
cout << m << endl << "is unitary: " << m.isUnitary() << endl;
// Output:
1.19e-07        0        1
   0.969   -0.249        0
   0.249    0.969 1.19e-07
is unitary: 1

(2) 对三维点进行变换

//变换前的点
Eigen::Vector3f v3f_a(x_m, y_m, 0.0);

//变换后的点:变换矩阵左乘点向量
Eigen::Vector3f v3f_b = affine3f*v3f_a;

(3) 要知道affine3f的四维矩阵Matrix4f，采用如下转换

Eigen::Matrix4f a;
Eigen::Affine3f b;
b.matrix() = a;

若要转换多个向量，首选的表示形式是旋转矩阵(rotation matrices)，而对于其他用途，四元数(Quaternion)是可选择的表示形式，因为它们是紧凑、快速和稳定的。最后，Rotation2D和AngleAxis是创建其他旋转对象的最主要的便利类型。

关于Translation和Scaling的注释：
像AngleAxis一样，这些类被设计成简化linear(matrix)和affine(Transform)变换的创建和初始化。然而，与使用效率低的AngleAxis不同，这些类可能可应用于编写通用和高效的算法，这些算法可以任意类型的转换作为输入。

上述任何transformation types都可以转换为任何其他性质相同的类型，或转换为更通用的类型。以下是一些示例：

Rotation2Df r;  r  = Matrix2f(..);       // assumes a pure rotation matrix
AngleAxisf aa;  aa = Quaternionf(..);
AngleAxisf aa;  aa = Matrix3f(..);       // assumes a pure rotation matrix
Matrix2f m;     m  = Rotation2Df(..);
Matrix3f m;     m  = Quaternionf(..);       Matrix3f m;   m = Scaling(..);
Affine3f m;     m  = AngleAxis3f(..);       Affine3f m;   m = Scaling(..);
Affine3f m;     m  = Translation3f(..);     Affine3f m;   m = Matrix3f(..);

2. Transformation 类型之间的通用API

在某种程度上，Eigen的geometry module允许您编写处理任何类型转换表示的通用算法：

–	–
Concatenation of two transformations	gen1 * gen2;
Apply the transformation to a vector	vec2 = gen1 * vec1;
Get the inverse of the transformation	gen2 = gen1.inverse();
Spherical interpolation (Rotation2D and Quaternion only)	rot3 = rot1.slerp(alpha,rot2);

3. 仿射变换(Affine transformations)

泛型仿射变换用Transform类表示，其实质是（Dim+1）^2的矩阵。在Eigen中，我们选择不区分点和向量，这样所有点实际上都由原点的位移向量表示。考虑到这一点，在应用转换时，实数点和向量会进行区分。

–	–
Apply the transformation to a point 对一个点应用变换	VectorNf p1, p2; p2 = t * p1;
Apply the transformation to a vector 对一个向量应用变换	VectorNf vec1, vec2; vec2 = t.linear() * vec1;
Apply a general transformation to a normal vector 对正则化向量应用一般变换	VectorNf n1, n2; MatrixNf normalMatrix = t.linear().inverse().transpose(); n2 = (normalMatrix * n1).normalized();
Apply a transformation with pure rotation to a normal vector (no scaling, no shear)	n2 = t.linear() * n1;
OpenGL compatibility 3D	glLoadMatrixf(t.data());
OpenGL compatibility 2D	Affine3f aux(Affine3f::Identity()); aux.linear().topLeftCorner<2,2>() = t.linear(); aux.translation().start<2>() = t.translation(); glLoadMatrixf(aux.data());

Component accessors

–	–
full read-write access to the internal matrix	t.matrix() = matN1xN1; // N1 means N+1 matN1xN1 = t.matrix();
coefficient accessors	t(i,j) = scalar; <=> t.matrix()(i,j) = scalar; scalar = t(i,j); <=> scalar = t.matrix()(i,j);
translation part	t.translation() = vecN; vecN = t.translation();
linear part	t.linear() = matNxN; matNxN = t.linear();
extract the rotation matrix	matNxN = t.rotation();

Transformation creation
虽然可以通过连接基本转换来创建和更新转换对象，但Transform类还具有一个过程API：

–	procedural API	equivalent natural API
Translation	t.translate(Vector_(tx,ty,…)); t.pretranslate(Vector_(tx,ty,…));	t = Translation_(tx,ty,…); t = Translation_(tx,ty,…) t;
Rotation In 2D and for the procedural API, any_rotation can also be an angle in radian	t.rotate(any_rotation); t.prerotate(any_rotation);	t = any_rotation; t = any_rotation t;
Scaling	t.scale(Vector_(sx,sy,…)); t.scale(s); t.prescale(Vector_(sx,sy,…)); t.prescale(s);	t = Scaling(sx,sy,…); t = Scaling(s); t = Scaling(sx,sy,…) * t; t = Scaling(s) * t;
Shear transformation ( 2D only ! )	t.shear(sx,sy); t.preshear(sx,sy);	–

注意，在这两个API中，任何多个转换都可以在一个表达式中连接，如下两个等效示例所示：

t.pretranslate(..).rotate(..).translate(..).scale(..);
t = Translation_(..) * t * RotationType(..) * Translation_(..) * Scaling(..);

4. Euler angles

Euler角度可以方便地创建旋转对象。另一方面，由于存在24种不同的约定，它们使用起来非常混乱。此示例演示如何根据2-1-2约定创建旋转矩阵。

Matrix3f m;
m = AngleAxisf(angle1, Vector3f::UnitZ())
    * AngleAxisf(angle2, Vector3f::UnitY())
    * AngleAxisf(angle3, Vector3f::UnitZ());

参考：

使用eigen库进行空间变换

文章版权归作者所有，未经允许请勿转载。

THE END

综合
# 矩阵库Eigen学习

Eigen学习笔记(16)-空间变换

1. Transformation的类型

2. Transformation 类型之间的通用API

3. 仿射变换(Affine transformations)

4. Euler angles

参考：