原文：Eigen官网–Solving linear least squares systems

对于超定线性方程系统（An overdetermined system of equations）：Ax = b，其是没有解的。在这种情况下，可以寻找一个接近于方程解的向量x，那么Ax-b的差值将会足够小。向量x就被称为least square solution。

本篇文章将讨论三种线性方程求解方法：

• SVD decomposition
• QR decomposition
• norm equations
  其中，SVD分解通常是最准确的，但也是最慢的；norm equations是最快的，但也是最不准确的；QR分解则位于上述两种方法之间。

1. SVD decomposition

BDCSVD类中的solve()方法可以直接用于求解线性系统。

2. QR decomposition

QR分解类中的solve（）方法也计算最小二乘解。

有三个QR decomposition类：

• HouseholderQR（不旋转，速度很快但不稳定）。
• ColPivHouseholderQR（列旋转，因此速度较慢但更准确）
• FullPivHouseholderQR（完全旋转，因此速度最慢且最稳定）。

3. normal equations

求解 Ax = b的最小二乘解，等价于求解normal equation A^T Ax=A^Tb，因此引申出使用normal equations的求解方法。

如果矩阵A是病态的（ill-conditioned），那么这不是一个好的方法，因为A^TA的条件数是A的条件数的平方，这意味着使用normal equations比使用其他方法减少两倍的位数。

示例如下：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
using namespace std;
using namespace Eigen;
int main()
{
   MatrixXf A = MatrixXf::Random(3, 2);
   cout << "Here is the matrix A:\\n" << A << endl;
   VectorXf b = VectorXf::Random(3);
   cout << "Here is the right hand side b:\\n" << b << endl;
   
   // SVD decomposition
   cout << "The least-squares solution is:\\n"
        << A.bdcSvd(ComputeThinU | ComputeThinV).solve(b) << endl;

  // QR decomposition
  cout << "The solution using the QR decomposition is:\\n"
     << A.colPivHouseholderQr().solve(b) << endl;

  // normal equations
  cout << "The solution using normal equations is:\\n"
     << (A.transpose() * A).ldlt().solve(A.transpose() * b) << endl;
}

结果如下：

Here is the matrix A:
  0.68  0.597
-0.211  0.823
 0.566 -0.605
Here is the right hand side b:
 -0.33
 0.536
-0.444
The least-squares solution is:
-0.67
0.314
The solution using the QR decomposition is:
-0.67
0.314
The solution using normal equations is:
-0.67
0.314