MKL学习——向量操作

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前言

推荐两个比较好的教程:

BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms)

LAPACK for Windows

命名规范

BLAS基本线性代数子程序的函数命令都有一定规范，便于记忆

<character> <name> <mod> ()

character

定义的是数据类型

s 实数域，单精度
c 复数域，单精度
d 实数域，双精度
z 复数域，双精度

也可结合起来，比如sc代表实数域和复数域的单精度类型，dz代表实数域和复数域的双精度类型。

name

针对BLAS level 1，也就是向量与向量间的操作的时候

dot 向量点乘
rot 向量旋转
swap 向量交换

针对BLAS level 2和3的情况，也就是矩阵参数类型

ge 一般矩阵
gb 一般带状矩阵
sy 对称矩阵
sp 对称矩阵(压缩存储)
sb 对称带状矩阵
he 埃尔米特矩阵 Hermitian matrix
hp 埃尔米特矩阵(压缩存储)
hb 埃尔米特带状矩阵
tr 三角矩阵
tp 三角矩阵(压缩存储)
tb 三角带状矩阵

mod

提供操作的额外信息，三种Level情况

针对Level 1

c 共轭向量
u 非共轭向量
g Givens 旋转结构
m 修正 Givens 旋转
mg 修正 Givens 旋转结构

针对Level 2

mv 矩阵-向量乘积
sv 求解具有一个未知向量的线性方程组
r 矩阵的一阶更新
r2 矩阵的二阶更新

针对Level 3

mm 矩阵-矩阵乘积
sm 求解具有多个未知向量的线性方程组
rk 矩阵的k阶更新
r2k 矩阵的2k阶更新

函数实例

ddot 双精度、实数域，向量-向量点乘
cdotc 复数域，向量-向量点乘，共轭
scasum 巨型向量元素和，单精度实数域输出，单精度复数域输入
cdotu 向量-向量点乘，一般矩阵，单精度
sgemv 矩阵-向量点乘，一般矩阵，单精度
ztrmm 矩阵-矩阵乘法，三角矩阵，双精度复数域

C接口的调用方法

C接口相对于Fortran有一个优势就是，可以指定是行优先还是列优先。调用方法就是在正常的命令规范前面加个前缀cblas_。对于复数函数?dotc和?dotu还需要加一个后缀_sub，通过指针返回复数结果，作为后一个参数添加进来。

使用CALBAS需要遵循一些规则 ：

  • 输入参数需要使用const修饰
  • 非复数标量输入参数直接使用值传递
  • 复数标量参数使用void指针传递
  • 矩阵参数使用地址传递
  • BLAS类型参数使用合适的枚举类型代替
  • Level 2和3中有一个CLABS_LAYOUT类型的额外参数，作为第一个输入参数。这个参数指定二维数组是行优先CblasRowMajor还是列优先CblasColMajor

定义的枚举类型:

enum CBLAS_LAYOUT {
CblasRowMajor=101, /* row-major arrays */
CblasColMajor=102}; /* column-major arrays */
enum CBLAS_TRANSPOSE {
CblasNoTrans=111, /* trans='N' */
CblasTrans=112, /* trans='T' */
CblasConjTrans=113}; /* trans='C' */
enum CBLAS_UPLO {
CblasUpper=121, /* uplo ='U' */
CblasLower=122}; /* uplo ='L' */
enum CBLAS_DIAG {
CblasNonUnit=131, /* diag ='N' */
CblasUnit=132}; /* diag ='U' */
enum CBLAS_SIDE {
CblasLeft=141, /* side ='L' */
CblasRight=142}; /* side ='R' */

矩阵存储方案

三种存储方案：

  • 全部存储：比如将矩阵

    A
    A存储到二维数组aa中，矩阵元素

    Aij
    A_{ij}以列优先的方式存储到

    a[i+j∗lda]
    a[i+j*lda]中，或者以行优先的形式存储到

    a[j+i∗lda]
    a[j+i*lda]中。这里的lda就是数组的引导维度。

  • 压缩存储：用于存储对称阵，埃尔米特矩阵，三角矩阵。对于列优先的布局，上三角和下三角按照列存储到一个一维数组；或者按照行优先的布局，上三角和下三角按行存储到一个一维数组中。
  • 带状存储：带状矩阵被压缩存储到一个二维数组中。对于列优先布局，矩阵的列被存储到对应的数组列中，矩阵对角部分被存储到数组的特殊行中。对于行优先的布局，矩阵的行被存储到对应数组的行中，矩阵对角部分被存储到数组的指定行中。

行优先与列优先

Fortran中以列优先的方式存储二维数组；在C中，需要数组为行优先的格式，这是C的约定。讲道理的话，这句话应该是这样写，但是官方文档给出的英文是
The BLAS routines follow the Fortran convention of storing two-dimensional arrays using column-major layout. When calling BLAS routines from C, remember that they require arrays to be in column-major format, not the row-major format that is the convention for C. Unless otherwise specified, the psuedo-code examples for the BLAS routines illustrate matrices stored using column-major layout.
这里却写着是按照列存储的。但是在Intel® Math Kernel Library Getting Started Tutorial: Using the Intel® Math Kernel Library for Matrix Multiplication中的实例却是这样
这里写图片描述
代码是
这里写图片描述
这个for循环明显是将一行一行的赋值，说明连续存储的单元是行中相邻的元素。但是后面的英文又是
The one-dimensional arrays in the exercises store the matrices by placing the elements of each column in successive cells of the arrays.
意思是联系中的以为数组是将每行列的元素放入到数组单元中。代码明明是每行的元素放入到其中。这到底是按行存储还是按列存储？两篇参考博客介绍行列存储的区别： 行优先和列优先的问题,矩阵存储的两种方式——行优先与列优先。个人感觉，姑且认为是按行存储的吧，毕竟代码是这样写的，虽然与文字不一致。如果有同学有何见解，希望在评论区讨论讨论^_^

Level 1所有函数

所有函数概览

函数名 缺失部分 描述
cblas_?asum s, d, sc, dz 向量和
cblas_?axpy s, d, c, z 标量-向量乘积
cblas_?copy s, d, c, z 拷贝向量
cblas_?dot s,d 点乘
cblas_?sdot sd,d 双精度点乘
cblas_?dotc c,z 共轭点乘
cblas_?dotu c,z 非共轭点乘
cblas_?nrm2 s,d,sc,dz 向量2范数
cblas_?rot s,d,cs,zd 绕点旋转
cblas_?rotg s,d,c,z 生成点的Givens旋转
cblas_?rotm s,d 点的修正Givens旋转
cblas_?rotmg s,d 生成点的修正Givens旋转
cblas_?scal s, d, c, z, cs, zd 向量-标量乘法
cblas_?swap s, d, c, z 向量-向量交换
cblas_i?amax s, d, c, z 绝对值最大元素位置
cblas_i?amin s, d, c, z 绝对值最小元素位置
cblas_?cabs1 s,d 辅助函数，计算单精度或者双精度复数的绝对值

cblas_?asum

  • 作用：计算向量元素和
  • 定义函数
float cblas_sasum (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx);
float cblas_scasum (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);
double cblas_dasum (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx);
double cblas_dzasum (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);

  • 运算

    计算实数向量的元素和，或者计算复数向量的实部以及虚部的和

    res=|Re(x1)|+|Im(x1)|+|Re(x2|+|Im(x2)|+⋯+|Re(xn)|+|Im(xn)|

    res=|Re (x_1)|+|Im(x_1)|+|Re (x_2|+|Im(x_2)|+\\cdots+|Re (x_n)|+|Im(x_n)|

  • 输入参数

    n
    n : 向量的元素个数

    xx : 数组，大小至少是

    (1+(n−1)∗abs(incx))
    (1+(n-1)*abs(incx))

    incx
    incx : 指定索引向量

    x
    x的增量

  • 返回值:向量所有元素的和

cblas_?axpy

  • 作用 : 计算向量-标量的积，然后加到结果上
  • 定义函数
void cblas_saxpy (const MKL_INT n, const float a, const float *x, const MKL_INT incx, float *y, const MKL_INT incy);
void cblas_daxpy (const MKL_INT n, const double a, const double *x, const MKL_INT incx, double *y, const MKL_INT incy);
void cblas_caxpy (const MKL_INT n, const void *a, const void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);
void cblas_zaxpy (const MKL_INT n, const void *a, const void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);
  • 运算

向量与向量之间的操作

y:=a∗x+y

y:=a*x+y

  • 输入参数

    n
    n : 指定向量x,yx,y的元素个数

    a
    a : 标量aa

    x
    x : 数组，大小至少是(1+(n−1)∗abs(incx))(1+(n-1)*abs(incx))

    incx
    incx : 指定索引向量

    x
    x的增量

    yy : 数组，大小至少是

    (1+(n−1)∗abs(incy))
    (1+(n-1)*abs(incy))

    incy
    incy : 指定索引向量

    y
    y的增量

  • 返回值 : 最终更新得到的向量yy

cblas_?copy

  • 作用 : 拷贝一个向量到另一个向量

  • 定义函数

    void cblas_scopy (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx, float *y, const MKL_INT incy);
void cblas_dcopy (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx, double *y, const MKL_INT incy);
void cblas_ccopy (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);
void cblas_zcopy (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);

  • 运算

    拷贝向量

    y=x
    y=x

  • 输入参数

    n
    n : 指定向量x,yx,y的元素个数

    x
    x : 数组，大小至少是(1+(n−1)∗abs(incx))(1+(n-1)*abs(incx))

    incx
    incx : 指定索引向量

    x
    x的增量

    yy : 数组，大小至少是

    (1+(n−1)∗abs(incy))
    (1+(n-1)*abs(incy))

    incy
    incy : 指定索引向量

    y
    y的增量

  • 返回值 : 当nn是正数的时候，向量

    x
    x的拷贝被返回，否则参数不变。

cblas_?dot

  • 作用 : 计算向量-向量的点乘

  • 定义函数

    float cblas_sdot (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx, const float *y, const MKL_INT incy);
double cblas_ddot (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx, const double *y, const MKL_INT incy);

  • 运算 :

    res=∑i=1nxi∗yi

    res=\\sum_{i=1}^nx_i*y_i

  • 输入参数

    n,x,incx,y,incy
    n,x,incx,y,incy分别代表元素个数，数组

    x
    x，数组xx的索引增量，数组

    y
    y，数组yy的索引增量

  • 返回值 : 返回两个向量的点乘；如果

    n<0
    n<0，返回0

cblas_?sdot

  • 作用 : 计算双精度向量-向量的点乘

  • 定义函数

    float cblas_sdsdot (const MKL_INT n, const float sb, const float *sx, const MKL_INT incx, const float *sy, const MKL_INT incy);
double cblas_dsdot (const MKL_INT n, const float *sx, const MKL_INT incx, const float *sy, const MKL_INT incy);

  • 运算

    ?sdot计算的是两个双精度向量的内积(点积)，中间结果的累积是双精度的，但是sdsdot返回的结果是单精度的，使用dsdot可以输出双精度的结果。其中sdsdot为点积结果加一个标量值sb

  • 输入参数

    n
    n : 输入向量xx和

    y
    y的维度

    sbsb : 内积的单精度缩放值(仅针对sdsdot)

    sx,sy
    sx,sy : 数组，包含单精度输入向量

    incx,incy
    incx,incy : 两个数组的索引增量

  • 返回值 : 当

    n
    n为正的时候，返回两个数组的点乘(sdsdot结果加一个标量sb);若n≤0n\\leq0，对于sdsdot返回

    sb
    sb，对于dsdot返回0

cblas_?dotc

  • 作用 : 计算一个共轭向量与另一个向量的点积

  • 定义函数

    void cblas_cdotc_sub (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, const void *y, const MKL_INT incy, void *dotc);
void cblas_zdotc_sub (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, const void *y, const MKL_INT incy, void *dotc);

  • 运算

    res=∑i=1nconjg(xi)∗yi

    res=\\sum_{i=1}^n conjg(x_i)*y_i

  • 输入参数

    n,x,incx,y,incy
    n,x,incx,y,incy分别代表元素个数，数组

    x
    x及其索引增量，数组yy及其增量

  • 输出 : 如果

    n>0
    n>0，输出共轭向量

    x
    x与非共轭向量yy的点乘，否则返回0

cblas_?dotu

  • 作用 : 计算复数域的向量-向量的点积

  • 定义函数

    void cblas_cdotu_sub (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, const void *y, const MKL_INT incy, void *dotu);
void cblas_zdotu_sub (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx, const void *y, const MKL_INT incy, void *dotu);

  • 运算

    res=∑i=1nxi∗yi

    res=\\sum_{i=1}^n x_i*y_i

    其中

    xi
    x_i和

    yi
    y_i分别是复数向量

    x
    x和yy的元素

  • 输入参数 : 同上

  • 输出参数 : 如果

    n>0
    n>0，返回点积，否则返回0

cblas_?nrm2

  • 作用 : 计算一个向量的欧几里得范数(Euclidean norm)

  • 定义函数

    float cblas_snrm2 (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx);
double cblas_dnrm2 (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx);
float cblas_scnrm2 (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);
double cblas_dznrm2 (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);

  • 运算

    res=||x||

    res=||x||

  • 输入参数 : 元素个数，数组，索引增量

  • 返回值 : 向量

    x
    x的欧几里得范数

cblas_?rot

  • 作用 : 平面上绕点旋转

  • 定义函数

    void cblas_srot (const MKL_INT n, float *x, const MKL_INT incx, float *y, const MKL_INT incy, const float c, const float s);
void cblas_drot (const MKL_INT n, double *x, const MKL_INT incx, double *y, const MKL_INT incy, const double c, const double s);
void cblas_csrot (const MKL_INT n, void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy, const float c, const float s);
void cblas_zdrot (const MKL_INT n, void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy, const double c, const double s);

  • 运算

    通俗写法

    [xi,yi]=[xi,yi][cs−sc]

    [x_i,y_i]=[x_i,y_i]\\left[
    \\begin{matrix}
    c&-s\\\\
    s&c
    \\end{matrix}
    \\right]

    官方写法

    xi=c∗xi+s∗yiyi=c∗yi−s∗xi

    x_i = c*x_i + s*y_i\\\\
    y_i = c*y_i – s*x_i

  • 输入参数 : 元素个数，两个向量，对应的索引增量，

    c,s
    c,s表示所绕点的坐标标量

  • 输出参数 :

    x
    x的每个元素被c∗x+s∗yc*x+s*y代替，

    y
    y的每个元素被c∗y−s∗xc*y-s*x代替

cblas_?rotg

  • 作用 : 计算Givens旋转参数

  • 定义函数

    void cblas_srotg (float *a, float *b, float *c, float *s);
void cblas_drotg (double *a, double *b, double *c, double *s);
void cblas_crotg (void *a, const void *b, float *c, void *s);
void cblas_zrotg (void *a, const void *b, double *c, void *s);

  • 运算

    给定一个点的笛卡尔(Cartesian)坐标

    (a,b)
    (a,b),返回参数

    c,s,r,z
    c,s,r,z对应Givens旋转，

    c,s
    c,s对应的是酉阵(unitary matrix)，类似于

    [c−ssc][ab]=[r0]

    \\begin{bmatrix}
    c&s\\\\
    -s&c
    \\end{bmatrix}
    \\begin{bmatrix}
    a\\\\
    b
    \\end{bmatrix}=
    \\begin{bmatrix}
    r\\\\
    0
    \\end{bmatrix}

    参数

    z
    z这样定义 : 如果|a|>|b||a|>|b|,那么

    z=s
    z=s，否则如果

    c≠0
    c\\neq 0,那么

    z=1c
    z=\\frac{1}{c}，否则

    z=1
    z=1

  • 输入参数 :

    a,b
    a,b分别提供点

    p
    p的横xx坐标和纵

    y
    y坐标

  • 输出参数 : Givens的四个参数

cblas_?rotm

  • 作用 : 修正绕平面是一点的Givens旋转

  • 定义函数

    void cblas_srotm (const MKL_INT n, float *x, const MKL_INT incx, float *y, const MKL_INT incy, const float *param);
void cblas_drotm (const MKL_INT n, double *x, const MKL_INT incx, double *y, const MKL_INT incy, const double *param);

  • 运算

    给定两个向量x,yx,y，这些向量的每个元素都会被替代为

    [xiyi]=H[xiyi]

    \\begin{bmatrix}
    x_i\\\\
    y_i
    \\end{bmatrix}=
    H\\begin{bmatrix}
    x_i\\\\
    y_i
    \\end{bmatrix}

    其中

    i=1⋯n
    i=1\\cdots n，H是修正Givens旋转矩阵，值存储在

    parm[1]
    parm[1]至

    parm[4]
    parm[4]中

  • 输入参数

    n,x,incx,y,incy,
    n,x,incx,y,incy,分别表示元素个数，两个向量，对应增量索引

    param : 包含五个参数，

    param[0]
    param[0]代表切换标志，

    param[1−4]
    param[1- 4]均包含

    h11,h12,h21,h22
    h_{11},h_{12},h_{21},h_{22}，分别对应数组

    H
    H的成分，依据标识符，可以得到如下数组HH

    flag=−1.0:H=[h11h21h12h22]flag=0.0:H=[1.0h21h121.0]flag=1.0:H=[h11−1.01.0h22]flag=−2.0:H=[1.00.00.01.0]

    flag = -1.0: H =\\begin{bmatrix}
    h_{11} &h_{12}\\\\
    h_{21} &h_{22}
    \\end{bmatrix}\\\\
    flag = 0.0: H =\\begin{bmatrix}
    1.0& h_{12}\\\\
    h_{21} &1.0
    \\end{bmatrix}\\\\
    flag = 1.0: H =\\begin{bmatrix}
    h_{11}& 1.0\\\\
    -1.0 &h_{22}
    \\end{bmatrix}\\\\
    flag = -2.0: H =
    \\begin{bmatrix}
    1.0 &0.0\\\\
    0.0 & 1.0
    \\end{bmatrix}

    后三种情况，矩阵

    H
    H中的−0.1,−1.0,0.0-0.1,-1.0,0.0可以由标志指定，无需在向量中写出来

  • 输出 :

    x
    x的每一个向量被h11∗x[i]+h12∗y[i]h_{11}*x[i] + h_{12}*y[i] 替换，

    y
    y的每一个向量被h21∗x[i]+h22∗y[i]h_{21}*x[i] + h_{22}*y[i] 替换

cblas_?rotmg

  • 作用 : 计算修正Givens旋转的参数

  • 定义函数

    void cblas_srotmg (float *d1, float *d2, float *x1, const float y1, float *param);
void cblas_drotmg (double *d1, double *d2, double *x1, const double y1, double *param);

  • 运算

    给定输入向量的笛卡尔坐标

    (x1,y1)
    (x_1,y_1),计算将结果向量的y置零时候，计算得到的Givens旋转矩阵

    H
    H

    [x10]=H[x1d1−−√y1d2−−√]

    \\begin{bmatrix}
    x_1\\\\
    0
    \\end{bmatrix}=
    H\\begin{bmatrix}
    x_1\\sqrt{d_1}\\\\
    y_1\\sqrt{d_2}
    \\end{bmatrix}

  • 输入参数

    d1
    d1代表向量的

    x
    x轴缩放因子，d2d2代表向量的y轴缩放因子,

    x1,y1
    x1,y1是输入向量的横纵坐标

  • 输出

    d1
    d1是更新矩阵的第一对角元

    d2
    d2是更新矩阵的第二对角元

    x1
    x1是缩放之前旋转向量的x坐标

    param
    param同上cblas_?rotmg的输入

    parma
    parma一样

cblas_?scal

  • 作用 : 计算向量和标量的乘积

  • 定义函数

    void cblas_sscal (const MKL_INT n, const float a, float *x, const MKL_INT incx);
void cblas_dscal (const MKL_INT n, const double a, double *x, const MKL_INT incx);
void cblas_cscal (const MKL_INT n, const void *a, void *x, const MKL_INT incx);
void cblas_zscal (const MKL_INT n, const void *a, void *x, const MKL_INT incx);
void cblas_csscal (const MKL_INT n, const float a, void *x, const MKL_INT incx);
void cblas_zdscal (const MKL_INT n, const double a, void *x, const MKL_INT incx);

  • 运算

    x=a∗x

    x=a*x

  • 输入参数

    n
    n向量的元素个数，aa标量，

    x
    x数组，incxincx向量x的索引增量

  • 输出 : 更新后的向量

    x
    x

cblas_?swap

  • 作用 : 交换向量值

  • 定义函数

    void cblas_sswap (const MKL_INT n, float *x, const MKL_INT incx, float *y, const MKL_INT incy);
void cblas_dswap (const MKL_INT n, double *x, const MKL_INT incx, double *y, const MKL_INT incy);
void cblas_cswap (const MKL_INT n, void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);
void cblas_zswap (const MKL_INT n, void *x, const MKL_INT incx, void *y, const MKL_INT incy);

  • 计算：交换向量xx和

    y
    y，互相代替元素值

  • 输入参数 : 正常的五个输入，元素个数，数组，增量索引

  • 输出 : 交换后的向量x,yx,y

cblas_i?amax

  • 作用 : 找到绝对值最大的元素的索引

  • 定义函数

    CBLAS_INDEX cblas_isamax (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx);
CBLAS_INDEX cblas_idamax (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx);
CBLAS_INDEX cblas_icamax (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);    
CBLAS_INDEX cblas_izamax (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);

  • 计算 : 给定向量

    x
    x，函数i?amax返回实数域中绝对值最大的向量元素x[i]x[i]的位置，或者返回复数域

    |Re(x[i])|+|Im(x[i])|
    |Re(x[i])|+|Im(x[i])|和的最大值

    如果

    n
    n非正，则返回

    如果向量中有好几个位置的值等于最大元素，第一个位置将被返回

  • 输入参数 : n,x,incxn,x,incx分别代表向量元素个数，数组，索引增量

  • 返回值 : 返回最大值元素的位置，比如

    x[index−1]
    x[index-1]具有最大的绝对值

cblas_i?amin

  • 作用 : 返回最小值的位置

  • 定义函数

    CBLAS_INDEX cblas_isamin (const MKL_INT n, const float *x, const MKL_INT incx);
CBLAS_INDEX cblas_idamin (const MKL_INT n, const double *x, const MKL_INT incx);
CBLAS_INDEX cblas_icamin (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);
CBLAS_INDEX cblas_izamin (const MKL_INT n, const void *x, const MKL_INT incx);

  • 计算 : i?amin返回的是向量的最小绝对值的位置。与i?amax类似

  • 输入参数: 同i?amax

  • 返回值: 绝对值最小元素位置的索引，比如

    x[index−1]
    x[index-1] 具有最小的绝对值

cblas_?cabs1

  • 作用: 计算复数的绝对值，是一个辅助函数，用于辅助其它函数的实现

  • 定义函数

    float cblas_scabs1 (const void *z);
double cblas_dcabs1 (const void *z);

  • 计算

    res=|Re(z)|+|Im(z)|

    res=|Re(z)|+|Im(z)|

  • 输入: 标量

    z
    z

  • 返回值: 复数zz的绝对值

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