在知识传播途中，向涉及到的相关著作权人谨致谢意！

总结

	Delaunay三角网（德劳内三角网）	Voronoi图（冯洛诺伊图）== Thienssen（泰森多边形）
示例
关系	互为对偶图	互为对偶图
构造	在给定有限样本点位置的情况下，按照Delaunay的约束条件，生成三角网	对Delaunay三角网的各个边做中垂线，中垂线上的顶点相连就构成了泰森多边形
what	是TIN的一种，它要求任意三角形的外接圆内部不包含其他样点，而且保证三角网的图形是唯一的，这种情况的三角网内角和尽可能的达到最大	指用不规则的小面块来逼近和模拟自然界不规则地理单元的一种方法
特点	1. 【三角网的唯一性】一组离散点Delaunay构造结果只有一个，且这种情况三角网内角和最大 2.【空圆特性】任意三角形的外接圆内不会有其他点存在并与其通视 3. 【选择最邻近点】在构网时，总是选择最邻近的点形成三角形并且不与约束线段相交	1. 多边形的边总垂直平分两个邻接采样点的连线 2. 多边形内任何位置总是离该多边形内样点的距离最近，离相邻多边形内样点最远 3. 每个多边形内只有一个点 4. 泰森多边形内部的顶点必有3条边同它连接，这些边相邻的3个三多边形的两两拼接的公共边 5. 泰森多边形内部的顶点周围有3个离散数据点，将其连成三角形后，该三角形的外接圆心即为该顶点
作用	可以实现Voronoi多边形与Delaunay三角网的互换，更加方便进行地理分析	1. 是一种基本的几何结构，接近于自然现象本质，是解决相关几何问题强有力的工具 2. 引入GIS，用来描述空间邻近关系，实现GIS中的空间邻近操作、缓冲区分析、空间内插、数字化过程中的断点捕捉和多边形构造等

三者关系

1. Voronoi图（冯洛诺伊图） == Thienssen（泰森多边形）
2. Voronoi图（泰森多边形） 和 Delaunay三角形 互为对偶图

【生成泰森多边形】正因为其上述空间对偶关系，所以在构建泰森多边形时，常先将离散点构成Delaunay三角网
【举例】1、2、3、4、5、6、7、8为离散采样点，ABCDE为改区块的边界

1. 生成Delaunay三角网：把采样点两两连接起来，得到一个三角网
   【注意】这里两两连接的方式有很多！必须使用Delaunay的构造方法对其进行约束，得到一个唯一的三角网（即TIN，白色的三角网）
2. 生成泰森多边形：对白色的三角网的每条边做中垂线，中垂线的交点即为泰森多边形的顶点，中垂线上的顶点相连就构成了泰森多边形（紫色）

1 Delaunay三角网

【Delaunay三角网的由来】

1. Delaunay实际上就是由多个点构成的一个三角网
2. 其实多个点两两相连可以得到很多种三角网，但Delaunay只有一个，那Delaunay约束两点相连的条件是什么？
   【Delaunay的特点】多个离散点形成Delaunay的约束条件
   • 【空圆特性】在三角网中，任意一个三角形的外接圆内不会有其他点存在并与其通视
   • 【选择最邻近的点】在构造三角网的时候，总是选择最邻近的点形成三角形，而且不与约束线段相交（上图的例子中没有约束线段）
   • 【唯一性】不论从区域何处开始构网，一组的离散点最终都只能得到一个的结果，即构网具有唯一性，且这种情况三角网内角和最大

【Delaunay是什么？】是TIN的一种，它要求任意三角形的外接圆内部不包含其他样点，而且保证三角网的图形是唯一的，这种情况的三角网内角和尽可能的达到最大
【Delaunay与泰森多边形的关系】互为对偶图，连接所有相邻的Voronoi多边形的生长中心所形成的三角网成为Delaunay三角网
【作用】可以实现Voronoi多边形与Delaunay三角网的互换，更加方便进行地理分析

2 Thiessen多边形(Voronoi图)

2.1 介绍

【来源】1911 年荷兰气候学家A.H.Thiessen为提高大面积气象预报的准确度,应用Voronoi 图对气象观测站进行了有效区域划分。故在二维空间中,Voronoi 图也称为泰森( Thiessen) 多边形
【what】指用不规则的小面块来逼近和模拟自然界不规则地理单元的一种方法
【理论基础】Voronoi图法

2.2 性质

1. 多边形的边总垂直平分两个邻接采样点的连线
2. 多边形内任何位置总是离该多边形内样点的距离最近，离相邻多边形内样点最远
3. 每个多边形内只有一个点
4. 泰森多边形内部的顶点必有3条边同它连接，这些边相邻的3个三多边形的两两拼接的公共边
5. 泰森多边形内部的顶点周围有3个离散数据点，将其连成三角形后，该三角形的外接圆心即为该顶点

【满足条件】Voronoi图是平面的一个划分，满足以下条件：

1. 其控制点集P = {p1,p2 … pn}中任意两点都不共位,且任意四点不共圆
2. 任意的一个凸多边形中,任意一个内点到该凸多边形的控制点pi的距离都小于该点到其他任何控制点pj 的距离——点与点之间垂直平分线(面)相交组合

2.3 作用

1. 是一种基本的几何结构，接近于自然现象本质，是解决相关几何问题强有力的工具
   因此引起气象、地质、测绘、考古、分子化学、生态学和计算机科学等领域中广泛注意
2. Voronoi图被引入GIS，用来描述空间邻近关系，实现GIS中的空间邻近操作、缓冲区分析、空间内插、数字化过程中的断点捕捉和多边形构造等

2.4 生成过程

【原理】

1. 泰森多边形是Delaunay三角网的对偶图，它可作为空间区域的一种分割方式而使用，在泰森多边形内的任意点到本多边形中心距离，小于它同任何其他多边形中心距离
2. 因此它可以看做空间区域数据的一种插值方法，即对空间一个未知点的值可以用离它最近的已知点的值来表示

【具体过程】

1. 生成Delaunay三角网：在给定有限样本点位置的情况下，生成三角形，即自动连接三角网
2. 生成泰森多边形：生成的泰森多边形内只包含一个样本点，且多边形内任意与该多边形包含的样本点距离相比于其他样本点的距离为最近

2.5 应用

Vornoi图在空间剖分上的等分性特征

1. 表达地理空间现象
2. 有效地用于许多空间分析问题，如邻接、邻近度和可达性等
3. 解决最近点、最小封闭圆问题

2.6 数据结构

以派出所为例子，把派出所的点数据做泰森多边形（Voronoi图）

1. 特征点数据（派出所的点）：样点ID、样点坐标XY、样点属性值
2. Voronoi单元顶点组成表（泰森多边形的点）：顶点ID、XY坐标、顶点标识
3. Voronoi顶点信息表（泰森多边形）：Voronoi单元ID（多边形的ID）、顶点ID集（多边形的顶点）
4. Voronoi单元邻接关系表（泰森多边形的邻接关系表）：单元ID、相邻的Voronoi单元号

2.7 类型

2.7.1 点的泰森多边形

生成方式	说明	图
按ID值生成Voronoi图	每个目标点都对应一个多边形，多边形的值为对应点的ID号
按目标点的属性值生成Voronoi图	每个属性值对应一个多边形，多边形的值为对应点指定的属性值
按选定目标点的生成Voronoi图	只有选中的目标点对应一个多边形，多边形的值为对应点指定属性值

2.7.2 线与面的泰森多边形

【理论基础】在GIS数据模型中，线是由一系列点组成，面是由首尾相连的点序列组成，所以可以根据点生成Voronoi图方法生成线和面的Voronoi图

应用案列：求解相邻最近和最远的点

【原理】

1. Voronoi多边形的边为相邻两个多边形对应样点的垂直平分线，连接样点的线与边的交点为点相邻距离的一半
2. 通过对样点建立距离场，获取每一个交点到样点的距离，即是该交点对应的两个样点相邻距离的一半
3. 通过样点属性表和地图便可找出相邻最近和最远的两对点

【步骤】

1. 创建Voronoi图
2. 创建TIN
3. 提取Voronoi图与TIN的交点（相交）
4. 对县城点建立距离场（欧式距离）
5. 将交点按ID转栅格（点转栅格）
6. 交点栅格值赋值为1（重分类）
7. 交点栅格与距离场相乘（乘法）
8. 查看交点属性表提取最近距离