【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

几何造型技术

研究在计算机中,如何表达物体模型形状的技术;

70年代,已有不少实用化系统;

已应用于航空航天、汽车、机械、造船、建筑和电子等领域。

描述物体的三维模型: 线框模型、曲面模型、实体模型

线框模型: 利用形体的顶点和棱边来表示物体。

曲面模型:通过有向棱边构成形体的表面,用面的几何表达相应的形体。

实体模型:定义一些基本体素,并通过集合运算将它们组合成复杂的几何形体。

参数曲线和曲面

曲线曲面参数表示

非参数表示

显式表示:y=f(x),无法表示封闭或多值曲线,如圆。

隐式表示:f(x,y)=0,易于判断函数值与零的关系,确定点与曲线的关系。

存在下述问题:

与坐标轴相关;

会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)。

参数表示

参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数

平面曲线上任一点P:

P

(

t

)

=

[

x

(

t

)

,

y

(

t

)

]

P(t)=[x(t),y(t)]

P(t)=[x(t),y(t)]

空间曲线上任一三维点P:

P

(

t

)

=

[

x

(

t

)

,

y

(

t

)

,

z

(

t

)

]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

参数表示例子:

直线:

P

(

t

)

=

P

1

+

(

P

2

P

1

)

t

P(t)=P_1+(P_2-P_1)t

P(t)=P1+(P2P1)t

圆:

P

(

t

)

=

[

1

t

2

1

+

t

2

,

2

t

1

+

t

2

]

P(t)=[\\frac{1-t^2}{1+t^2},\\frac{2t}{1+t^2}]

P(t)=[1+t21t2,1+t22t]

参数表示的优点

满足几何不变性的要求;
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状;
对参数方程进行几何变换即实现对曲线(面)的变换;
便于处理斜率为无穷大的情形;
参数方程中,代数、几何相关和无关的变量是完全分离的,且对变量个数不限,便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去;
规格化的参数变量t∈[0,1],使其相应的几何分量是有界的,不必用另外的参数去定义边界;
易于用矢量和矩阵表示几何分量,简化了计算。

曲线的基本概念

1️⃣ 三维曲线

用参数表示的三维曲线是一个有界的点集,可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数:

{

x

=

x

(

t

)

y

=

y

(

t

)

,

0

t

1

z

=

z

(

t

)

\\left\\{ \\begin{array}{lc} x=x(t) \\\\ y=y(t),\\quad 0\\le t\\le 1\\\\ z=z(t) \\end{array} \\right.

x=x(t)y=y(t),0t1z=z(t)

2️⃣ 位置矢量

曲线上任一点的位置矢量可表示为:

P

(

t

)

=

[

x

(

t

)

,

y

(

t

)

,

z

(

t

)

]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

如存在k阶导数矢量,则:

P

k

(

t

)

=

d

k

P

d

t

k

P^k(t)=\\frac{d^kP}{dt^k}

Pk(t)=dtkdkP

3️⃣ 切矢量

选择弧长s作为参数,则 $T=\\frac{dP}{ds}=\\underset{\\Delta s \\to0}{\\lim}\\frac{\\Delta P}{\\Delta s} $ 是单位切矢量

根据弧长微分公式有:

image-20220213123228060

于是有

d

P

d

s

=

d

P

d

t

.

d

t

d

s

=

P

(

t

)

P

(

t

)

\\frac{dP}{ds}=\\frac{dP}{dt}.\\frac{dt}{ds}=\\frac{P'(t)}{|P'(t)|}

dsdP=dtdP.dsdt=P(t)P(t)

T 为单位矢量

4️⃣ 法矢量

所有垂直于切矢量T 的矢量有一束,且位于法平面上

d

T

d

s

\\frac{dT}{ds}

dsdT是与T垂直的矢量;与

d

T

d

s

\\frac{dT}{ds}

dsdT平行的法矢称为曲线在该点的主法矢(N)

矢量积

B

=

T

×

N

B=T\\times N

B=T×N 是第三个单位矢量,它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量;

可以推导出:

image-20220213123733723

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架;

N、B构成的平面称为法平面,N、T构成的平面称为密切平面,B、T构成的平面称为从切平面

5️⃣ 曲率和挠率

圆的半径越小,曲率越大

image-20220213124835263

image-20220213124818254

image-20220213125013086

插值、拟合和光顺(掌握概念)

1️⃣ 插值: 给定一组有序的数据点Pi构造一条曲线顺序通过这些数据点,所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值

y

=

a

x

+

b

y=ax+b

y=ax+b

抛物线插值

φ

(

x

)

=

a

x

2

+

b

x

+

c

\\varphi(x)=ax^2+bx+c

φ(x)=ax2+bx+c

image-20220213125636751

2️⃣ 拟合:构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点,所构造的曲线为拟合曲线。

3️⃣ 逼近:在计算数学中,逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中,逼近继承了这方面的含义

包含插值和拟合

4️⃣ 过拟合:模型在训练集上效果很好,在测试集上效果差(不考)

5️⃣ 光顺(Fairing):指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言,相对光顺的条件是:

a. 具有二阶几何连续性(G2)

b. 不存在多余拐点和奇异点;

c. 曲率变化较小。

参数化

概念

过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条:

对应地参数t, 在[0,1]区间中有无数种取法;

参数值称为节点(knot)。

对于一条插值曲线,型值点

P

0

,

P

1

,

.

.

.

,

P

n

P_0,P_1,…,P_n

P0,P1,...,Pn与其参数域

t

[

t

0

,

t

n

]

t\\in[t_0,t_n]

t[t0,tn]内的节点之间有一种对应关系:

对于一组有序的型值点,所确定一种参数分割,称之为这组型值点的参数化

参数化常用方法

1️⃣ 均匀参数化(等距参数化);

节点在参数轴上呈等距分布,

t

i

+

1

=

t

i

+

t_{i+1}=t_i+正常数

ti+1=ti+

2️⃣ 累加弦长参数化;
在这里插入图片描述

反映型值点按弦长的分布情况;

能克服均匀参数化所出现的问题。

3️⃣ 向心参数化法;

4️⃣ 修正弦长参数化法。

参数区间的规格化

我们通常将参数区间

[

t

0

,

t

n

]

[t_0,t_n]

[t0,tn]规格化为[0,1],

[

t

0

,

t

n

]

[

0

,

1

]

[t_0,t_n]\\not = [0,1]

[t0,tn]=[0,1],只需对参数化区间作如下处理:

t

0

=

0

,

 

t

i

=

t

i

t

n

,

 

i

=

0

,

1

,

.

.

.

,

n

t_0=0,\\ t_i=\\frac{t_i}{t_n},\\ i=0,1,…,n

t0=0, ti=tnti, i=0,1,...,n

参数曲线的代数和几何形式(了解一下)

以三次参数曲线为例,讨论参数曲线的代数和几何形式

代数形式

image-20220213141426456

上述代数式写成矢量式是image-20220213141438490

几何形式

对三次参数曲线,可用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P‘(1)描述。

将P(0)、P(1)、P’(0)和P‘(1)简记为P0、P1、P‘0和P’1,代入

image-20220213141527888,得
image-20220213141544736image-20220213141549416

image-20220213141628288

简化为image-20220213141639553

上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式

几何系数:$ P_0、P_1、P’_0和P’_1$

调和系数

F

0

F

1

G

0

G

1

F_0、F_1、G_0、G_1

F0F1G0G1

image-20220213141911351

参数

F

0

,

F

1

F_0,F_1

F0,F1专门控制端点的函数值对曲线的影响;

参数

G

0

,

G

1

G_0,G_1

G0,G1专门控制端点的一阶导数值对曲线的影响。

连续性

设计制造时,组合多段曲线,因此需要解决曲线段之间的光滑连接问题

曲线间连接的光滑度的度量(会考概念)

参数连续性:组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢,即n阶连续可微,称为n阶参数连续性

C

n

C^n

Cn

几何连续性:组合曲线在连接处满足不同于

C

n

C^n

Cn的某一组约束条件,称为具有n阶几何连续性

G

n

G^n

Gn

介于n-1阶参数连续性和n阶参数连续性之间

同阶参数连续性的要求比几何连续性高

引进几何连续的重要性

🏷 举例

image-20220213142246320

Φ

(

t

)

\\Phi(t)

Φ(t)在[0,2]上表示一条连接

V

0

,

V

1

V_0,V_1

V0,V1的直线段;

左右导数不等:

Φ

(

1

)

=

1

3

(

V

1

V

0

)

,

 

Φ

(

1

+

)

=

2

3

(

V

1

V

0

)

\\Phi(1^-)=\\frac{1}{3}(V_1-V_0),\\ \\Phi(1^+)=\\frac{2}{3}(V_1-V_0)

Φ(1)=31(V1V0), Φ(1+)=32(V1V0)

参数连续描述光滑性不恰当。

举例说明

对于参数

t

[

0

,

1

]

t\\in [0,1]

t[0,1]的两条曲线P(t)和Q(t)

image-20220213144235983

1️⃣ 若要求在结合处达到

C

0

C^0

C0连续或

G

0

G^0

G0连续,即两曲线在结合处位置连续:

P

(

1

)

=

Q

(

0

)

P(1)=Q(0)

P(1)=Q(0)

2️⃣ 若要求在结合处达到

G

1

G^1

G1连续,就是说两条曲线在结合处在满足

G

0

G^0

G0连续的条件下,并有公共的切矢

Q

(

0

)

=

α

P

(

1

)

(

α

>

0

)

Q'(0)=\\alpha P'(1)\\qquad (\\alpha >0)

Q(0)=αP(1)(α>0)

α

=

1

\\alpha = 1

α=1时,

G

1

G^1

G1连续就成为

C

1

C^1

C1 连续

PQ 在连接处已有

C

0

C

1

C^0 C^1

C0C1连续性且曲率的大小和方向均相等,即

P

(

1

)

=

Q

(

0

)

P''(1)=Q''(0)

P(1)=Q(0)PQ 在连接处具有

C

2

C^2

C2连续

PQ 在连接处已有

C

0

C

1

C^0 C^1

C0C1连续性且曲率的大小不相等但方向相等,则PQ 在连接处具有

G

2

G^2

G2连续。

3️⃣ 若要求在结合处达到

G

2

G^2

G2连续,就是说两条曲线在结合处在满足

G

1

G^1

G1连续的条件下,并有公共的曲率矢

image-20220213144734310

这个关系可写为image-20220213144756444

β

\\beta

β为任意常数,当

α

=

1

,

β

=

0

\\alpha =1 , \\beta = 0

α=1,β=0时,

G

2

G^2

G2连续就成了

C

2

C^2

C2连续

参数曲面基本概念

一张定义在矩形域上的参数曲面可以表示为

image-20220213145226314

可记为image-20220213145231332

曲面上的点:将给定的参数值

u

0

,

v

0

u_0,v_0

u0,v0代入参数方程,可得曲面上的点

P

(

u

0

,

v

0

)

P(u_0,v_0)

P(u0,v0)

曲面上一点的切向量(切矢):

P

(

u

,

v

)

u

u

=

u

0

,

v

=

v

0

P

(

u

,

v

)

v

u

=

u

0

,

v

=

v

0

\\frac{\\partial{}P(u,v)}{\\partial{}u}|u=u_0,v=v_0 \\qquad \\frac{\\partial{}P(u,v)}{\\partial{}v}|u=u_0,v=v_0

uP(u,v)u=u0,v=v0vP(u,v)u=u0,v=v0
曲面上一点的法向(法矢):

image-20220213150457701

角点:

P

(

0

,

0

)

,

P

(

0

,

1

)

,

P

(

1

,

0

)

,

P

(

1

,

1

)

P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)

P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)

边界线:

P

(

u

,

0

)

,

P

(

u

,

1

)

,

P

(

0

,

w

)

,

P

(

1

,

w

)

P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)

P(u,0),P(u,1),P(0,w),P(1,w)

image-20220213150623023

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