文章目录

【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(1)——参数曲线和曲面
- 参数曲线和曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章几何造型技术(1)——参数曲线和曲面

几何造型技术

研究在计算机中，如何表达物体模型形状的技术；

70年代，已有不少实用化系统；

已应用于航空航天、汽车、机械、造船、建筑和电子等领域。

描述物体的三维模型: 线框模型、曲面模型、实体模型。

线框模型: 利用形体的顶点和棱边来表示物体。

曲面模型：通过有向棱边构成形体的表面，用面的几何表达相应的形体。

实体模型：定义一些基本体素，并通过集合运算将它们组合成复杂的几何形体。

参数曲线和曲面

曲线曲面参数表示

非参数表示

显式表示:y=f(x)，无法表示封闭或多值曲线，如圆。

隐式表示:f(x,y)=0，易于判断函数值与零的关系，确定点与曲线的关系。

存在下述问题：

与坐标轴相关；

会出现斜率为无穷大的情形(如垂线)。

参数表示

参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。假定用t表示参数

平面曲线上任一点P:

(

)

[

(

)

(

)

]

P(t)=[x(t),y(t)]

$P (t) = [x (t), y (t)]$

空间曲线上任一三维点P:

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

$P (t) = [x (t), y (t), z (t)]$

参数表示例子：

直线：

P

(

t

)

=

P

1

+

(

P

2

−

P

1

)

t

P(t)=P_1+(P_2-P_1)t

$P (t) = P_{1} + (P_{2} - P_{1}) t$

圆：

P

(

t

)

=

[

1

−

t

2

1

+

t

2

,

2

t

1

+

t

2

]

P(t)=[\\frac{1-t^2}{1+t^2},\\frac{2t}{1+t^2}]

$P (t) = [\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{2 t}{1 + t ^{2}}]$

参数表示的优点：

满足几何不变性的要求；
有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状；
对参数方程进行几何变换即实现对曲线(面)的变换；
便于处理斜率为无穷大的情形；
参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，且对变量个数不限，便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；
规格化的参数变量t∈[0,1]，使其相应的几何分量是有界的，不必用另外的参数去定义边界；
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。

曲线的基本概念

1️⃣ 三维曲线

用参数表示的三维曲线是一个有界的点集，可以表示成一个带参数的、连续的和单值的数学函数：

{

(

)

(

)

≤

(

)

\\left\\{ \\begin{array}{lc} x=x(t) \\\\ y=y(t),\\quad 0\\le t\\le 1\\\\ z=z(t) \\end{array} \\right.

$⎩ ⎨ ⎧ x = x (t) y = y (t), 0 \leq t \leq 1 z = z (t)$

2️⃣ 位置矢量

曲线上任一点的位置矢量可表示为：

(

)

[

(

)

(

)

(

)

]

P(t)=[x(t),y(t),z(t)]

$P (t) = [x (t), y (t), z (t)]$

如存在k阶导数矢量，则：

(

)

P^k(t)=\\frac{d^kP}{dt^k}

$P^{k} (t) = \frac{d ^{k} P}{d t ^{k}}$

3️⃣ 切矢量

选择弧长s作为参数，则 $T=\\frac{dP}{ds}=\\underset{\\Delta s \\to0}{\\lim}\\frac{\\Delta P}{\\Delta s} $ 是单位切矢量

根据弧长微分公式有：

于是有

′

(

)

∣

′

(

)

∣

\\frac{dP}{ds}=\\frac{dP}{dt}.\\frac{dt}{ds}=\\frac{P'(t)}{|P'(t)|}

$\frac{d P}{d s} = \frac{d P}{d t} . \frac{d t}{d s} = \frac{P ^{'} ( t )}{∣ P ^{'} ( t ) ∣}$

即T 为单位矢量

4️⃣ 法矢量

所有垂直于切矢量T 的矢量有一束，且位于法平面上

\\frac{dT}{ds}

$\frac{d T}{d s}$ 是与T垂直的矢量；与

\\frac{dT}{ds}

$\frac{d T}{d s}$ 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢(N)

矢量积

B=T\\times N

$B = T \times N$ 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢量；

可以推导出：

T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；

N、B构成的平面称为法平面，N、T构成的平面称为密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。

5️⃣ 曲率和挠率

圆的半径越小，曲率越大

插值、拟合和光顺(掌握概念)

1️⃣ 插值: 给定一组有序的数据点Pi构造一条曲线顺序通过这些数据点，所构造的曲线称为插值曲线。

线性插值：

y

=

a

x

+

b

y=ax+b

$y = a x + b$

抛物线插值：

φ

(

x

)

=

a

x

2

+

b

x

+

c

\\varphi(x)=ax^2+bx+c

$φ (x) = a x^{2} + b x + c$

2️⃣ 拟合：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，所构造的曲线为拟合曲线。

3️⃣ 逼近:在计算数学中，逼近通常指用一些性质较好的函数近似表示一些性质不好的函数。在计算机图形学中，逼近继承了这方面的含义

包含插值和拟合

4️⃣ 过拟合：模型在训练集上效果很好，在测试集上效果差(不考)

5️⃣ 光顺(Fairing)：指曲线的拐点不能太多。对平面曲线而言，相对光顺的条件是：

a. 具有二阶几何连续性(G2)

b. 不存在多余拐点和奇异点；

c. 曲率变化较小。

参数化

概念

过三点P0、P1和P2构造参数表示的插值多项式可以有无数条：

对应地参数t, 在[0,1]区间中有无数种取法；

参数值称为节点(knot)。

对于一条插值曲线，型值点

P_0,P_1,…,P_n

$P_{0}, P_{1}, . . ., P_{n}$ 与其参数域

∈

[

]

t\\in[t_0,t_n]

$t \in [t_{0}, t_{n}]$ 内的节点之间有一种对应关系：

对于一组有序的型值点，所确定一种参数分割，称之为这组型值点的参数化。

参数化常用方法

1️⃣ 均匀参数化(等距参数化)；

节点在参数轴上呈等距分布,

正

常

数

t_{i+1}=t_i+正常数

$t_{i + 1} = t_{i} + 正常数$ 。

2️⃣ 累加弦长参数化；
在这里插入图片描述

反映型值点按弦长的分布情况；

能克服均匀参数化所出现的问题。

3️⃣ 向心参数化法；

4️⃣ 修正弦长参数化法。

参数区间的规格化

我们通常将参数区间

[

]

[t_0,t_n]

$[t_{0}, t_{n}]$ 规格化为[0,1]，

[

]

≠

[

]

[t_0,t_n]\\not = [0,1]

$[t_{0}, t_{n}] \neq = [0, 1]$ ，只需对参数化区间作如下处理：

t_0=0,\\ t_i=\\frac{t_i}{t_n},\\ i=0,1,…,n

$t_{0} = 0, t_{i} = \frac{t _{i}}{t _{n}}, i = 0, 1, . . ., n$

参数曲线的代数和几何形式(了解一下)

以三次参数曲线为例，讨论参数曲线的代数和几何形式

代数形式

上述代数式写成矢量式是

几何形式

对三次参数曲线，可用其端点位矢P(0)、P(1)和切矢P¢(0)、P‘(1)描述。

将P(0)、P(1)、P’(0)和P‘(1)简记为P0、P1、P‘0和P’1，代入

，得

令

简化为

上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式

•几何系数：$ P_0、P_1、P’_0和P’_1$

•调和系数：

F

0

、

F

1

、

G

0

、

G

1

F_0、F_1、G_0、G_1

$F_{0} 、 F_{1} 、 G_{0} 、 G_{1}$

参数

F_0,F_1

$F_{0}, F_{1}$ 专门控制端点的函数值对曲线的影响；

参数

G_0,G_1

$G_{0}, G_{1}$ 专门控制端点的一阶导数值对曲线的影响。

连续性

设计制造时，组合多段曲线，因此需要解决曲线段之间的光滑连接问题。

曲线间连接的光滑度的度量(会考概念)

参数连续性：组合参数曲线在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，称为n阶参数连续性

C

n

C^n

$C^{n}$

几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于

C

n

C^n

$C^{n}$ 的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性

G

n

G^n

$G^{n}$ 。

介于n-1阶参数连续性和n阶参数连续性之间

同阶参数连续性的要求比几何连续性高

引进几何连续的重要性

🏷 举例

第

Φ

(

t

)

\\Phi(t)

$Φ (t)$ 在[0,2]上表示一条连接

V

0

,

V

1

V_0,V_1

$V_{0}, V_{1}$ 的直线段；

左右导数不等:

Φ

(

1

−

)

=

1

3

(

V

1

−

V

0

)

,

Φ

(

1

+

)

=

2

3

(

V

1

−

V

0

)

\\Phi(1^-)=\\frac{1}{3}(V_1-V_0),\\ \\Phi(1^+)=\\frac{2}{3}(V_1-V_0)

$Φ (1^{-}) = \frac{1}{3} (V_{1} - V_{0}), Φ (1^{+}) = \frac{2}{3} (V_{1} - V_{0})$

参数连续描述光滑性不恰当。

举例说明

对于参数

∈

[

]

t\\in [0,1]

$t \in [0, 1]$ 的两条曲线P(t)和Q(t)

1️⃣ 若要求在结合处达到

C^0

$C^{0}$ 连续或

G^0

$G^{0}$ 连续，即两曲线在结合处位置连续：

(

)

(

)

P(1)=Q(0)

$P (1) = Q (0)$

2️⃣ 若要求在结合处达到

G^1

$G^{1}$ 连续，就是说两条曲线在结合处在满足

G^0

$G^{0}$ 连续的条件下，并有公共的切矢

′

(

)

′

(

)

(

)

Q'(0)=\\alpha P'(1)\\qquad (\\alpha >0)

$Q^{'} (0) = α P^{'} (1) (α > 0)$
当

\\alpha = 1

$α = 1$ 时，

G^1

$G^{1}$ 连续就成为

C^1

$C^{1}$ 连续

若P 和Q 在连接处已有

C

0

C

1

C^0 C^1

$C^{0} C^{1}$ 连续性且曲率的大小和方向均相等，即

P

′

′

(

1

)

=

Q

′

′

(

0

)

P''(1)=Q''(0)

$P^{''} (1) = Q^{''} (0)$ 则P 和Q 在连接处具有

C

2

C^2

$C^{2}$ 连续

若P 和Q 在连接处已有

C

0

C

1

C^0 C^1

$C^{0} C^{1}$ 连续性且曲率的大小不相等但方向相等，则P 和Q 在连接处具有

G

2

G^2

$G^{2}$ 连续。