【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

【XJTUSE计算机图形学】第三章 几何造型技术(3)——B样条曲线与曲面

B样条曲线与曲面

Bezier曲线缺陷:

缺乏灵活性:一旦确定了多边形的顶点数,就确定了曲线的阶数;

控制性差:当顶点数较多,曲线的阶次将比较高,此时,特征多边形对曲线形状的控制将明显减弱;

不易修改:由曲线的方程可看出,其Bernstein基函数的值在开区间(0,1)内不为零。因此,所定义之曲线(0<t<1)在区间内的任何一点均要受到全部顶点的影响,这使得对曲线进行局部修改成为不可能。

B样条曲线:为克服Bezier曲线的缺陷,Gordon等人拓展了Bezier曲线,从外形设计的需求出发,希望新曲线易于进行局部修改、更逼近特征多边形、低阶次曲线

于是,用k阶B样条基函数替换了Bernstein基函数,构成了称之为B样条曲线的新型曲线。

B样条的递推定义与性质

基本概念

半开区间

[

t

i

,

t

i

+

1

]

[t_i,t_{i+1}]

[ti,ti+1] 是第i+1个节点区间;

集合T称为节点矢量

重节点:如果一个节点ti出现r次 (即

t

i

=

t

i

+

1

=

.

.

.

=

t

t

+

r

1

,

r

>

1

t_i=t_{i+1}=…=t_{t+r-1},r>1

ti=ti+1=...=tt+r1,r>1),ti 是重复度为r的多重节点

定义

image-20220214143500352

P

i

(

i

=

0

,

1

,

.

.

.

,

n

)

P_i(i=0,1,…,n)

Pi(i=0,1,...,n)是控制多边形的顶点

N

i

,

k

(

t

)

(

i

=

0

,

1

,

.

.

.

,

n

)

N_{i,k}(t)(i=0,1,…,n)

Ni,k(t)(i=0,1,...,n)称为k阶(k-1次)B样条基函数

多种基函数的定义:image-20220214143708173

de Boor-Cox递推定义

ik阶(基函数度数)B-样条基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)

image-20220214143907691

约定

0

0

=

0

\\frac{0}{0}=0

00=0

通常称为de Boor-Cox递归公式;

如果次数为零(k= 1),这些基函数都是阶梯函数。

image-20220214154954575

特殊观察

1️⃣ 基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上非零;

2️⃣ 在任何一个节点区间

[

t

i

,

t

i

+

1

)

[t_i,t_{i+ 1})

[ti,ti+1), 最多有k个(k-1)次基函数非零:

N

i

k

+

1

,

k

(

t

)

,

N

i

k

+

2

,

k

(

t

)

,

.

.

.

,

N

i

,

k

(

t

)

N_{i-k+1,k}(t),N_{i-k+2,k}(t),…,N_{i,k}(t)

Nik+1,k(t),Nik+2,k(t),...,Ni,k(t)

image-20220214161607989

性质

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)是t的k阶多项式

1️⃣ 局部支撑性

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)是在

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上的非零多项式

image-20220214162124034

2️⃣ 权性(单位分解 )

image-20220214162230256

3️⃣ 微分公式

image-20220214162249351

4️⃣ 非负性:对所有的i,kt,

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)是非负的

5️⃣ 重要结论

基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)是(k-1)次多项式的复合曲线,连接点在

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上的节点处;

在重复度r的节点处,基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)

C

k

r

1

C^{k-r-1}

Ckr1连续的;

如果节点数目是(m+1),函数的阶数是k,控制点的个数是(n+1),则m=(n+k),即节点数等于控制点数+阶数

❓ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

注意阶数=次数+1

B样条曲线类型的划分

两个标准:首末节点是否重合和节点的分布情况。

1️⃣ 首末节点是否重合

开曲线:曲线不会与控制折线的第一边和最后一边接触;图1

闭曲线:第1个节点和最后1个节点是重复节点。

–Clamped:第一个节点和最后一个节点必须是重复度为k ;图2

–Closed:重复某些节点和控制点。图3

image-20220214163341383

2️⃣ 节点的分布情况

假定控制多边形的顶点为

P

i

(

i

=

0

,

1

,

.

.

.

n

)

P_i(i=0,1,…n)

Pi(i=0,1,...n),阶数为k(次数为k-1),则节点矢量为

T

=

[

t

0

,

t

1

,

.

.

.

,

t

n

+

k

]

T=[t_0,t_1,…,t_{n+k}]

T=[t0,t1,...,tn+k]

均匀样条曲线

节点矢量中节点为沿参数轴均匀或等距分布,所有节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基

image-20220214164108581

节点矢量为[0, 1/8, 2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 1]

准均匀样条曲线

两端点的重复度为k,内部其它节点呈均匀分布,且重复度为1。

端点过特征多边形的端点

image-20220214164310578

节点矢量为[0, 0, 0, 0,1/3,2/3, 1,1, 1, 1]

分段Bezier曲线

节点矢量中两端节点具有重复度k,所有内节点重复度为k-1,这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。

image-20220214164416878

图中有7个控制顶点,n=6,阶数为4,因此节点数为6+4+1=11,节点矢量为

T

=

[

t

0

,

t

1

,

.

.

.

,

t

10

]

=

[

0

,

0

,

0

,

0

,

0.5

,

0.5

,

0.5

,

1

,

1

,

1

,

1

]

T=[t_0,t_1,…,t_{10}]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]

T=[t0,t1,...,t10]=[0,0,0,0,0.5,0.5,0.5,1,1,1,1]

一般的非均匀B样条曲线

B样条曲线的性质

局部性

1️⃣ k阶B样条曲线上参数为

t

[

t

i

,

t

i

+

1

]

t\\in [t_i,t_{i+1}]

t[ti,ti+1]的一点至多与k个控制顶点

P

j

(

j

=

i

k

+

1

,

.

.

.

i

)

P_j(j=i-k+1,…i)

Pj(j=ik+1,...i)有关,与其它控制顶点无关;

2️⃣

P

i

P_i

Pi只影响在区间

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上的曲线P(t);

基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上非零;

3️⃣ 基函数

N

i

,

k

(

t

)

N_{i,k}(t)

Ni,k(t)在区间

[

t

i

,

t

i

+

k

)

[t_i,t_{i+k})

[ti,ti+k)上都是次数不高于(k-1)的多项式。

改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5,有几段曲线的形状会改变?

P5影响在区间

[

t

5

,

t

9

)

[

t

3

,

t

10

]

[t5,t9)\\in[t3,t10]

[t5,t9)[t3,t10]上的曲线,影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

注意看定义域,可能有陷阱

开曲线定义域

k个基函数的支持,定义域是

[

t

k

1

,

t

n

+

1

]

[t_{k-1},t_{n+1}]

[tk1,tn+1](k-1是次数,n+1是控制顶点数)

举例

使用节点向量T={0,0.25,0.5,0.75,1},如果基函数是2阶的(即k=2),那么有三个基函数N0,2(t),N1,2(t)和N2,2(t);

第一个和最后一个节点区间只有一个非零基函数,而第二和第三节点区间(即[0.25,0.5)和[0.5,0.75))有两个非零基函数。

节点区间[0,0.25)和[0.75,1)没有基函数的“完全支持”。

一般来说,区间

[

t

0

,

t

k

1

)

[t_0,t_{k-1})

[t0,tk1)

[

t

n

+

1

,

u

n

+

k

]

[t_{n+1},u_{n+k}]

[tn+1,un+k]不会有基函数的“完全支持”,当B样条曲线是开曲线时被忽略。

凸包性

image-20220214203644625

贝塞尔曲线是B样条曲线的特例

image-20220214203706151

分段参数多项式

P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式,因此P(t)是参数t的次数不高于k-1的分段多项式。

连续性

image-20220214203741056

导数公式

image-20220214203827223

变差缩减性

image-20220214203911117

仿射不变性

image-20220214203927881

即在仿射变换下,P(t)的表达式具有形式不变性。

如果一个仿射变换应用于B样条曲线,得到的结果可以从它的控制点的仿射像构建得到。

几何不变性

由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式,因此,B样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。

直线保持性

控制多边形退化为一条直线时曲线也退化为一条直线

习题

1️⃣ 五个控制顶点的三次B样条曲线由几个节点构成

5+4=9

2️⃣ 一条以P0,P1,P2,P3,P4为控制顶点的4阶(三次)B样条曲线,其节点向量为{0,0,0,1,2,3,4,4, 4},则其定义域为?

image-20220214204856268

3️⃣ 由五个控制顶点所决定的3次B样条曲线,由几段3次B样条曲线段光滑连接而成?

定义域是

[

t

3

,

t

5

]

[t3,t5]

[t3,t5],有两段连接

4️⃣ 改变一条以P0,P1,…,P9为控制顶点的4阶B样条曲线的一个顶点P5,有几段曲线的形状会改变?

image-20220214205412561

P5影响在区间

[

t

5

,

t

9

)

[

t

3

,

t

10

]

[t5,t9)\\in[t3,t10]

[t5,t9)[t3,t10]上的曲线,影响了4段曲线[t5,t6)、[t6,t7)、[t7,t8)、[t8,t9)

De Door算法(了解)

image-20220214211029249

de Boor 算法的递推关系如图

image-20220214211044987

三次B样条的Bezier表示(了解)

image-20220214211300521

节点插入算法

进一步改善B样条曲线的局部性质,提高曲线的形状控制的灵活性,可实现对曲线的分割等

给定一条k阶B样条曲线$P(t)=\\underset{i=0}{\\overset{n}{\\sum}}P_i N_{i,k}(t)

B

,B样条基由节点矢量

BT={[t_0,t_1,…,t_{n+k}]}$完全决定

插入一个节点

在定义域某个节点区间

[

t

i

,

t

i

+

1

]

[t_i,t_{i+1}]

[ti,ti+1]内插入一个节点t,得到新的节点矢量:

T

1

=

[

t

0

,

t

1

,

.

.

.

,

t

i

,

t

,

t

i

+

1

,

.

.

.

,

t

n

+

k

]

T^1={[t_0,t_1,…,t_i,t,t_{i+1},…,t_{n+k}]}

T1=[t0,t1,...,ti,t,ti+1,...,tn+k]

重新编号成为:

T

1

=

[

t

0

1

,

t

1

1

,

.

.

.

,

t

i

1

,

t

i

+

1

1

,

t

i

+

2

1

,

.

.

.

,

t

n

+

k

+

1

1

]

T^1={[t_0^1,t_1^1,…,t_i^1,t_{i+1}^1,t_{i+2}^1,…,t_{n+k+1}^1]}

T1=[t01,t11,...,ti1,ti+11,ti+21,...,tn+k+11]

新节点矢量T1决定了一组新B样条基

N

i

,

k

1

(

t

)

,

i

=

0

,

1

,

.

.

.

,

n

+

1

N_{i,k}^1(t),i=0,1,…,n+1

Ni,k1(t),i=0,1,...,n+1。原始的曲线可用这组新的B样条基与未知新顶点

P

i

1

P_i^1

Pi1表示

image-20220214211939434

未知新顶点的计算公式(Boehm)

image-20220214212004664

算法过程

image-20220214212253869

B样条曲线的优点

优点:

可以是贝塞尔曲线;满足贝塞尔曲线有的所有重要性质;提供了比贝塞尔曲线更灵活的控制

曲线的次数与控制点数目是分开的,可使用更低次曲线而仍然保持很多控制点;

可以改变一个控制点位置而不会全局地改变整个曲线形状;

还有其他设计和编辑形状的技术比如改变节点。

B样条曲线仍然是多项式曲线,而多项式曲线不能表示许多有用的简单的曲线比如圆和椭圆

B样条曲面

image-20220214212442489

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THE END
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