B-样条曲线——动机 Motivation

B-样条曲线——动机

Motivation


 

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    考虑设计一个花瓶的剖面图。下图左边是11次(degree)的贝塞尔曲线;但是它很难弯曲瓶颈到线段 P4P5。当然,我们可以在这个线段附近增加控制点来增加该区域的权重。但是这会增加曲线的次数(degree)。许多情况下,不值得使用如此高次(degree)的多项式。

 

     如前面讨论过的贝塞尔曲线的导数 ,我们可以将两个贝塞尔曲线连接起来。只要第一条曲线的最后一段和第二条曲线的第一段有相同方向,我们至少可以获得 G1 连续性,因为切向量有相同方向但可能有不同的长度(即,如果长度相同,它就是C1 连续的)。上边中间图使用了这个思想。它有3个3次贝塞尔曲线段,连接点用黄色矩形框标记。这说明有满足 G1 连续条件的多重低阶贝塞尔曲线段,我们可以设计出复杂形状。但是,保持 G1 连续条件会是乏味和不受欢迎的。

 

     有没有可能我们仍用更低阶曲线段而不用考虑 G1 连续条件? B-样条曲线是贝塞尔曲线的推广且正是为了解决这个问题的。上边右图是一个8控制点的3次B-样条曲线。实际上,由5条3次贝塞尔曲线段连接起来形成了由控制点定义的B-样条曲线。 上图中,那些小点把B-样条曲线划分为贝塞尔曲线段。可以像贝塞尔曲线那样移动控制点来修改曲线的形状。我们也可以修改曲线的细分(subdivision)。因此B-样条曲线有更高阶曲线设计的自由度。

    直接细分(Subdividing)曲线是很困难的。因此,我们细分曲线的定义域。因此,如果曲线的定义域是[0,1],这个闭区间被称为节点(knots)的点细分而成。设这些节点是 0 <= u0 <= u1 <= … <= um <= 1。那么点C(ui)的曲线细分如下图所示,因此,修改[0,1]的细分会改变曲线的形状。

 

    总之,为了设计一个B-样条曲线,我们需要一系列的控制点,一系列的节点和一系列的系数,每个系数对应一个控制点,所以所有曲线段连接在一起满足某个连续条件。系数的计算可能是最复杂的步骤因为它们必须保证某个连续条件。幸运的是,这个计算在本课程中不需要。我们只需要知道相关特性用于B-样条曲线的推理就可以了。 

  


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译注:

  1.  本文翻译是“B-样条曲线(B-spline Curves)教程”中的一部分,其余翻译部分见“B-样条曲线(B-spline Curves)教程目录”。
  2.  “B-样条曲线(B-spline Curves)教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
  3. 本文原文地址:Motivation  。
  4. 本文首发“博士数学家园

 

 

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