B-样条基函数:计算实例

B-样条基函数:计算实例

B-spline Basis Functions: Computation Examples 

                                                                                                                  

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下面详细讨论两个实例,一个是简单节点(knot)的,另一个是多重节点的。

 

 

简单节点(Simple Knots

假设节点向量是U = { 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1 }. 因此, m = 4 u0 = 0, u1 = 0.25, u2 = 0.5, u3 = 0.75  u4 = 10次(degree)基函数很简单。 它们分别是定义在节点跨度 [0,0.25,), [0.25,0.5), [0.5,0.75)  [0.75,1)上的N0,0(u), N1,0(u), N2,0(u)N3,0(u) ,如下图所示。

 

 

下表给出了所有的Ni,1(u)

Basis Function

Range

Equation

N0,1(u)

[0, 0.25)

4u

[0.25, 0.5)

2(1 – 2u)

N1,1(u)

[0.25, 0.5)

4u – 1

[0.5, 0.75)

3 – u

N2,1(u)

[0.5, 0.75)

2(2u – 1)

[0.75, 1)

4(1 – u)

接着展示这些基函数的图形。因为内节点0.25, 0.50.75都是简单的(即, k = 1) p = 1,有p – k + 1 = 1非零基函数和三个节点。 而且, N0,1(u), N1,1(u) N2,1(u)在节点0.25, 0.5 0.75分别是C0 连续的。

 

Ni,1(u)可计算2次基函数。因此m = 4, p = 2, m = n + p + 1,我们有n = 1所以只有两个2次基函数:N0,2(u)N1,2(u). 结果见下表:

Basis Function

Range

Equation

N0,2(u)

[0, 0.25)

8u2

[0.25, 0.5)

-1.5 + 12u – 16 u2

[0.5, 0.75)

4.5 – 12u + 8 u2

N1,2(u)

[0.25, 0.5)

0.5 – 4u + 8u2

[0.5, 0.75)

-1.5 + 8u – 8u2

[0.75, 1)

8(1 – u)2

下图显示了两个基函数。三条垂直蓝线表示节点位置。注意每个基函数是三个2次曲线段的组合曲线。例如, N0,2(u) 是绿色曲线,其是定义在[0,0.25), [0.25, 0.5) [0.5,0.75)上的三个抛物线的联合。这些曲线段连接在一起形成一个光滑的钟形。请验证 N0,2(u,) (resp., N1,2(u)) 在节点 0.25 0.5 (resp., 0.5  0.75)C1 连续的。如前页所提到的,在节点处,这个复合曲线是C1 连续的。

 

 

 

 

带正重复度的节点

如果一个节点向量包含有正重复度的节点,我们会遇到 0/0的情况,后面会遇到。因此我们定义 0/0 等于0。 幸运的是,这只用于手工计算的情况。对计算机实现,有个有效的算法,不受这个问题影响。如果ui 是重复度 k 的节点(ui = ui+1 = … = ui+k-1), 那么节点区间[ui,ui+1), [ui+1,ui+2), …, [ui+k-2,ui+k-1) 不存在,结果是,Ni,0(u), Ni+1,0(u), …, Ni+k-1,0(u) 都是零函数。

考虑节点向量 U = { 0, 0, 0, 0.3, 0.5, 0.5, 0.6, 1, 1, 1 }. 因此,0 1 是重复度3 (即, 0(3)  1(3)) 0.5 是重复度2 (即, 0.5(2)). 结果是, m = 9而节点分配是

u0

u1

u2

u3

u4

u5

u6

u7

u8

u9

0

0

0

0.3

0.5

0.5

0.6

1

1

1

现在计算 Ni,0(u)。 注意因为 m = 9 p = 0 ( 0 次基函数), 我们有n = m – p – 1 = 8。如下表所示,只有四个0次非零基函数: N2,0(u), N3,0(u), N5,0(uN6,0(u).

 基函数

范围

方程

备注

N0,0(u)

所有 u

0

因为 [u0, u1) = [0,0) 不存在

N1,0(u)

所有 u

0

因为 [u1, u2) = [0,0) 不存在

N2,0(u)

[0, 0.3)

1

 

N3,0(u)

[0.3, 0.5)

1

 

N4,0(u)

所有 u

0

因为 [u4, u5) = [0.5,0.5) 不存在

N5,0(u)

[0.5, 0.6)

1

 

N6,0(u)

[0.6, 1)

1

 

N7,0(u)

所有 u

0

因为 [u7, u8) = [1,1) 不存在

N8,0(u)

所有 u

0

因为 [u8, u9) = [1,1) 不存在

然后,我们继续计算1次基函数。因为 p 1, n = m – p – 1 = 7. 下表显示了结果:

           

         

N0,1(u)

所有 u

0

N1,1(u)

[0, 0.3)

1 – (10/3)u

N2,1(u)

[0, 0.3)

(10/3)u

[0.3, 0.5)

2.5(1 – 2u)

N3,1(u)

[0.3, 0.5)

5u – 1.5

N4,1(u)

[0.5, 0.6)

6 – 10u

N5,1(u)

[0.5, 0.6)

10u – 5

[0.6, 1)

2.5(1 – u)

N6,1(u)

[0.6, 1)

2.5u – 1.5

N7,1(u)

所有 u

0

下图显示了这些基函数的图形。

 

 

让我们看一个特别的计算,比如N1,1(u). 。它使用下式计算的:

 

 

u1 = u2 = 0 u3 = 0.3 代入这个方程产生下式:

 

 

因为 N1,0(u) 到处为零,第一项是0/0 因此被定义为零。因而,只有第二项对结果有影响。因为 N2,0(u) [0,0.3)上是1N1,1(u) [0,0.3)上是1 – (10/3)u 

接着,让我们计算所有的Ni,2(u)。因为 p = 2, 我们有 n = m – p – 1 = 6。下表包含了所有的Ni,2(u):

          

       

N0,2(u)

[0, 0.3)

(1 – (10/3)u)2

N1,2(u)

[0, 0.3)

(20/3)(u – (8/3)u2)

[0.3, 0.5)

2.5(1 – 2u)2

N2,2(u)

[0, 0.3)

(20/3)u2

[0.3, 0.5)

-3.75 + 25u – 35u2

N3,2(u)

[0.3, 0.5)

(5u – 1.5)2

[0.5, 0.6)

(6 – 10u)2

N4,2(u)

[0.5, 0.6)

20(-2 + 7u – 6u2)

[0.6, 1)

5(1 – u)2

N5,2(u)

[0.5, 0.6)

12.5(2u – 1)2

[0.6, 1)

2.5(-4 + 11.5u – 7.5u2)

N6,2(u)

[0.6, 1)

2.5(9 – 30u + 25u2)

下图显示了所有2次基函数。

 

 

让我们选一个典型的计算作为例子,如N3,2(u)。计算式是下式:

 

 

代入 u3 = 0.3, u4 = u5 = 0.5 u6 = 0.6得到

 

 

因为 N3,1(u) [0.3, 0.5)上非零且等于5u – 1.5(5u – 1.5)2 N3,2(u[0.3, 0.5)上的非零部分。因为N4,1(u) [0.5, 0.6)上非零且等于6 – 10u, (6 – 10u)2 N3,2(u) [0.5, 0.6)上的非零部分。

让我们研究在节点0.5(2)处的连续问题。因为它的重复度是2 且这些基函数的次数是 2, 基函数 N3,2(u0.5(2)处是C0 连续的。这就是为什么N3,2(u) 0.5(2)处有个尖锐的角。对不在两个端点处的节点,例如 0.3,保持了 C1 连续性因为它们都是简单节点。

                                                                                                                  

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译注: 

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