清华笔记:计算共形几何讲义 (6)上同调的霍奇理论

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这次课程,我们介绍霍奇分解定理,这一定理在图形学、视觉和网络中,应用非常广泛。直观而言,我们考察曲面上的切向量场,如果这个向量场光滑得无以复加,那么这个向量场被称为是调和场(harmonic field)。霍奇分解定理是说曲面上任意一个光滑切向量场,可以被唯一地分解为三个向量场:梯度场、散度场和调和场。霍奇分解经常被用于光滑化一个矢量场,将一个不可积矢量场变得可积。本次视频链接在【1】中可以找到。


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图1. 曲面调和1-形式群的基底。



在几何应用中,很多时候我们需要在一类对象中选择一个代表元。在最为理想的情况下,代表元是唯一的。比如

从更高的观点来看,调和形式是流形上椭圆型偏微分方程的解,其解空间的维数(同调群的维数)由流形的拓扑所决定。这正是指标定理的精髓。指标定理联结了分析(偏微分方程)和拓扑(上同调群)。

物理解释

曲面上所有无旋无散矢量场成群,此群和曲面的上同调群同构,这就是所谓的霍奇(Hodge)理论

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图2. 平面区域上的电场。

曲面上的无旋无散场(旋度为0,散度为0的场)的现实世界模型就是静电场,也可以理解为曲面上光滑得无法再光滑的矢量场。详细解释,请参考【2】。

顾图1_看图王.png

那么,曲面上的静电场又该如何描述?

调和微分形式

曲面静电场 调和场的概念可以推广到曲面上,如图3所示,红色轨道表示等势线,蓝色轨道表示电力线。曲面上的电场强度矢量场为无旋无散的调和场。

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图3. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

图4显示的是另外一个调和切矢量场,同样无旋无散。

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图4. 亏格为二的曲面上的调和矢量场。

顾图2_看图王_看图王_副本.png

上式给出了调和场的椭圆型偏微分方程。

那么,自然的问题就是:调和形式存在吗?如果存在,解唯一吗?如果不唯一,那么所有的解空间的维数如何?所有解构成的群结构如何?Hodge理论给出了所有这些问题的解答:所有的调和k-形式构成群,调和k-形式群和流形的k阶上同调群同构

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图5. 女孩曲面上的调和1-形式。

霍奇(Hodge)理论

Hodge理论本质是说:每一个上同调类中有且仅有一个调和微分形式。这个定理有两层意思,一是存在性,二是唯一性。

顾图3_看图王_看图王.png顾图3_看图王_看图王.png

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图6. 对偶剖分。

离散霍奇理论

出于计算的目的,我们需要将经典光滑流形的霍奇理论离散化,假设光滑曲面被一个单纯复形0.png所近似,单纯复形1.png嵌入在三维欧氏空间之中,因而具有诱导的欧氏度量,我们称之为带度量的离散曲面3.png。我们构造顶点的Voronoi图(Voronoi Diagram), 记为4.png。对任意顶点5.png,其对应的Voronoi胞腔为:

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图片4_看图王_副本.png
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图7. 每条边和其对偶的长度之比。

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离散泊松方程为对称正定稀疏线性系统,我们用共轭梯度方法可以求解。


References:

【1】http://m.iqiyi.com/w_19rtoay4k9.html#vfrm=8-8-u-1

【2】苏变萍,陈东立,《复变函数与积分变换》,高等教育出版社。


原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月12日)

https://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-1175407.html

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