B-样条曲线:移动控制点

B-样条曲线:移动控制点

B-spline Curves: Moving Control Points

                                                                                                                  

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移动控制点是改变B-样条曲线形状的最明显的方法。在前面页讨论的局部修改方案说明了修改控制点 Pi 的位置仅影响在区间[ui, ui+p+1)上的曲线 C(u) 。其中 p 是B-样条曲线的次数。实际上,形状的改变是在控制点被移动方向上的 t平移 。更准确地,如果控制点Pi向某个方向移动到一个新位置Qi ,那么点C(u),其中 u 在[ui, ui+p+1)上,会以相同方向从Pi 移动到 Qi。 但是,移动的距离点与点之间是不同的。下图中,控制点 P4 从左图位置移到中图新位置最后到右图最终位置。可看到那些对应节点的点(小三角标记)也以相同方向移动。

 

让我们看些细节。假设C(u) 是一个给定的p 次B-样条曲线定义如下:

 

设控制点 Pi 被移动到一个新位置Pi + v. 。那么,新 p 次B-样条曲线 D(u)如下:

 

因此,新曲线D(u)是简单的原始曲线C(u)的和以及一个平移向量Ni,p(u)v。 因为 Ni,p(u)在区间 [ui,ui+p+1)上非零,如果u 不在该区间,这个“平移”项为零。因此,移动一个控制点仅影响给定曲线部分形状。 下面左曲线是个由13个控制点 control points (即, n = 12)和18个节点(即, m = 17)定义的4次 (即, p = 4)B-样条曲线 。这些18个节点都是简单的并定义了一个clamped曲线(即,u0 = u1 = u2 = u3 = u4 = 0 和 u13 = u14 = u15 = u16 = u17 = 1)。剩余的节点定义了9个节点区间,因此如图所示有9个曲线段。这9个节点区间和曲线段命名如下:

 

区间 [u4,u5) [u5,u6) [u6,u7) [u7,u8) [u8,u9) [u9,u10) [u10,u11) [u11,u12) [u12,u13)
曲线段 1 2 3 4 5 6 7 8 9

 

现在让我们移动 P6。结果显示在上面右图。如你们所看到的,曲线以同样方向移动。P6 的系数是 N6,4(u), 其在[u6, u11)上非零。因此,移动 P6 影响曲线段3, 4, 5, 6 和7。曲线段1, 2, 8和9不受影响。 

来自强凸包性质的有用结果

回忆
强凸包性质,如果
u位于 [
u
i,
u
i+1),那么
C(
u) 位于由控制点
P
i,
P
i-1, …,
P
i-p+1,
P
i-p定义的凸包内。这有助于帮助我们进行下列设计任务:
  1. 强制曲线段变成直线段:让p+1 相邻控制点共线。

    如果 u 位于节点区间 [ui,ui+1)上,那么C(u) 位于由 p+1个控制点Pi, Pi-1, …, Pi-p+1, Pi-p定义的凸包内。因为这对所有在该区间的u 都成立,所以在该节点区间的曲线段完全位于该凸包内。如果所有这些 p+1 个控制点是共线的(即,在一条直线上),凸包退化到线段,它所包含的曲线段也是如此。 结果,在节点区间 [ui,ui+1)上的曲线段变成了直线段。注意在这个情况下只有这个曲线段变成了直线段。其他曲线段仍然是非线性的。

     

    (a) (b) (c)
    (d) (e) (f)

    让我们来看一个例子。上面的图由 n = 15 (即,16个控制点), p = 3 (次数为3) 和m = 19 (即,20个节点)。注意头四个和最后四个节点是clamped。图 (a)是给定的B-样条曲线。 让我们使得P9, P8, P7P6 共线。因此,在 [u9,u10)上的曲线段位于由 P9, P8, P7P6定义的凸包内。 因为这个凸包是直线段,所以曲线段也必须是直线段。记住头四个节点是clamped因此头三个节点区间不存在。因为[u9,u10)是第7个节点区间,第7段退化为直线段P7P8。这通过图 (b), (c) 和 (d)说明。

    但是,为什么在 [u9,u10)上的曲线段只退化到曲线段? 看图(b)。阴影部分区域是 u 刚要进入enters [u9,u10)前的凸包。这个凸包由控制点 P8, P7, P6 和 P5定义,其还不是一条直线段。 一旦 u 进入[u9,u10),曲线段退化  (图 (c)).在u 离开[u9,u10)的同时,出现了一个新的凸包(图(d))。

    图 (e) 有 P5 及其四个后继共线。该曲线包含多于一个直线段。 图 (f) 有 P10 和它的5个后继共线;但是,它被移动到P8 和 P9之间的位置。这导致相应曲线段的部分成为一条直线(为什么?) 

     

  2. 强制B-样条曲线经过一个控制点:让p个相邻控制点重合(identical )

    考虑控制点Pi。因为在节点区间 [ui, ui+1)上的曲线段完全位于由Pi, …, Pi-p+1,Pi-p定义的凸包内,如果我们使得前p 个控制点重合(即, Pi = Pi-1 = … = Pi-p+1),凸包退化为一条直线段, Pi-pPi 而曲线必经过Pi

     

    上面左图的曲线是3次的。如果 P5 移到与 P6重合,曲线也移动更接近 P6 但还没有经过它。这如中图所示。注意曲线段的数目没有因为这个移动而改变;但是 P5 附近的小三角标记移动到更接近 P6。 如果 P4 被移到与P6 = P5 重合,曲线经过P6 且对应于节点的点因为移动而与控制点P4 重合。

     

  3. 强制B-样条曲线与控制折线的一边相切:让Pi-p, Pi-p+1 = Pi-p+2 = …. = Pi-1 = Pi 及Pi+1 共线。

    上面将 p 个相邻控制点重合。在那个控制点上,连续性是C0 因为曲线有一个尖头(见上面右图)。 但是,一个B-样条曲线在简单节点上是 Cp-1 在其他空间是无限可微的,在边Pi-pPi 上的控制点 Pi 上的曲线是Cp-1 连续的(退化控制点重新编号为i)而在边PiPi+1 上的控制点Pi 也是 Cp-1 连续的。因此,如果我们使得 Pi-p, PiPi+1 共线,只要两个相邻曲线段在该节点上没有尖头,它们在 PiCp-1 连续的。

     

    在上面图中,曲线的次数是 2。如果我们使得控制点2, 3, 4 和 5 共线而 3 和 4 重合,我们得到右图。共线保证了曲线段位于直线上而重合控制点强制 C3-1 = C2 连续。

                                                                                                                  

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译注: 

  1.  本文翻译是“B-样条曲线(B-spline Curves)教程”中的一部分,其余翻译部分见“B-样条曲线(B-spline Curves)教程目录”。 
  2. “B-样条曲线(B-spline Curves)教程”是翻译自C.-K. Shene博士的CS3621 Introduction to Computing with Geometry Notes的第6部分“B-spline Curves”。
  3. 本文原文地址:Moving Control Points
  4. 本文首发“博士数学家园

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