清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性

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共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属,其证明方法也是丰富多彩,各有千秋。这里,我们回忆一下经典的复分析手法,朴素初等,但是非常具有代表性。在复分析中,标准共形映射的存在性证明,一般都遵循如下的方法:首先定义一个全纯函数的正规族,然后考察函数的Taylor(或者Laurent)级数展开,构造一个序列使得某一个系数取得极值,由正规族的紧性得到极值函数的存在性,再证明这个极值函数就是所要求得的共形映射。我们下面的证明就是采用这种手法。

黎曼映照定理

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图1. 黎曼映照(Riemann Mapping)。

图片[2]-清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性-卡核

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图2. 莫比乌斯变换(Mobisu Transformation)。

图片[3]-清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性-卡核

唯一性证明

存在性证明

Schwartz-Christoffel 映射

原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月17日)

https://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-1180640.html

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