清华笔记:计算共形几何讲义 (12)极值长度

图1. 圆柱面的共形模。

拓扑等价的度量曲面是否共形等价,亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射,这是一个微妙的问题。几何上,我们需要寻找共形变换下的全系不变量,通过比较不变量,我们可以判断曲面是否共形等价。如果曲面是拓扑圆盘,边界上选取四个角点,则曲面被称为是拓扑四边形。拓扑四边形的共形不变量,被称为是曲面的共形模。

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图2. 拓扑四边形和共形模。

极值长度

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图3. 平直度量是极值度量。

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拓扑环带

共形模的概念可以自然的推广到拓扑环带情形,因为拓扑环带可以共形映射到长方形(左右两侧重合),如图1所示。

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图4. 拓扑环带的共形模。

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极物理意义

串联两个电阻,则等效电阻为各个电阻之和;并联两个电阻,则等效电导(电阻之倒数)等于各个电导之和。假设电阻率为常值,则长方形材料的等效电阻等于宽比高(电极连接左右两侧)。如果,我们将长方形进行相似变换,则等效电阻并不变化。

共形变换在无穷小意义下是相似变换,因此宏观上,等效电阻在共形变换下不变,共形模的物理解释就是等效电阻

组合理论

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图5. 存在性和唯一性

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原文发布在【老顾谈几何】公众号 (2017年7月23日)

https://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-1195670.html

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