清华笔记：计算共形几何讲义 （11）黎曼映照（Riemann Mapping）的存在性
共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属，其证明方法也是丰富多彩，各有千秋。这里，我们回忆一下经典的复分析手法，朴素初等，但是非常具有代表性。在复分析中，标准共形映射的存在...
清华笔记：计算共形几何讲义 （10）纪念米尔扎哈尼——泰希米勒（Teichmuller）空间
多年以前，我还在哈佛求学，导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论，McMullen用组合的方法来研究共形结构，非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解...
清华笔记：计算共形几何讲义 （9）全纯微分
双全纯函数图1. Escher 效果：双全纯函数是复平面间的共形映射。黎曼面图2. 黎曼面的概念。黎曼面和黎曼度量黎曼面之间的全纯映射图3. 黎曼面间的双全纯映射。亚纯微分黎曼面上的微分形式的定义...
清华笔记：计算共形几何讲义 （8）狭缝映射（Slit Map）的存在性
我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性：狭缝映射（slit mapping）。如图所示，给定亏过为0的多连通曲面，存在共形映射将其映射到平面区域，每个边界的联通分支都被映成一条狭...
清华笔记：计算共形几何讲义 （8）狭缝映射（Slit Map）的存在性
我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性：狭缝映射（slit mapping）。如图所示，给定亏过为0的多连通曲面，存在共形映射将其映射到平面区域，每个边界的联通分支都被映成一条狭...
清华笔记：计算共形几何讲义 （7）矢量场设计
漫长的课程至此，我们终于可以应用所学的理论工具来分析解决一些实际问题了。我们学习了曲面的代数拓扑和 微分拓扑，de Rham上同调的霍奇理论，作为应用实例，我们讨论如何构造曲面上光滑矢量场...
清华笔记：计算共形几何讲义 （6）上同调的霍奇理论
这次课程，我们介绍霍奇分解定理，这一定理在图形学、视觉和网络中，应用非常广泛。直观而言，我们考察曲面上的切向量场，如果这个向量场光滑得无以复加，那么这个向量场被称为是调和场（harmon...
清华笔记：计算共形几何讲义 （4）单纯同调
这次课程，我们介绍单纯同调理论。在代数拓扑中，有单纯同调、奇异同调和de Rham同调理论。它们所用的数学工具不同，但是理论彼此等价。【1】给出了本课程的视频链接。 基本方法代数...
清华笔记：计算共形几何讲义 （2）代数拓扑
这次课程，我们简单介绍曲面基本群（一维同伦群）的理论梗概。主要概念有基本群的定义，表示，计算。然后我们介绍覆盖空间理论，特别是万有覆盖空间理论，曲线同伦检测算法。【1】给出了课程的...
虚构的对抗，GAN with the wind
在过去的两三年中，对抗生成网络（Generative Adersarial Network GAN）获得了爆炸式的增长，其应用范围几乎涵盖了图像处理和机器视觉的绝大多数领域。其精妙独到的构思，令人拍案叫绝；其绚烂...
深度学习的几何理解（3） – 概率变换的几何观点
（最近，哈佛大学丘成桐先生领导的团队，大连理工大学罗钟铉教授、雷娜教授领导的团队应用几何方法研究深度学习。老顾受邀在一些大学和科研机构做了题为“深度学习的几何观点”的报告，汇报了这...
深度学习的几何理解（2） – 学习能力的上限
（最近，哈佛大学丘成桐先生领导的团队，大连理工大学罗钟铉教授、雷娜教授领导的团队应用几何方法研究深度学习。老顾受邀在一些大学和科研机构做了题为“深度学习的几何观点”的报告，汇报了这...
