顾险峰的头像-卡核
这家伙很懒,什么都没有写...
清华笔记:计算共形几何讲义 (7)矢量场设计-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (7)矢量场设计

漫长的课程至此,我们终于可以应用所学的理论工具来分析解决一些实际问题了。我们学习了曲面的代数拓扑和 微分拓扑,de Rham上同调的霍奇理论,作为应用实例,我们讨论如何构造曲面上光滑矢量场...
清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性

我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性:狭缝映射(slit mapping)。如图所示,给定亏过为0的多连通曲面,存在共形映射将其映射到平面区域,每个边界的联通分支都被映成一条狭...
清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (8)狭缝映射(Slit Map)的存在性

我们用较为初等的复变函数方法证明一种共形映射的存在性:狭缝映射(slit mapping)。如图所示,给定亏过为0的多连通曲面,存在共形映射将其映射到平面区域,每个边界的联通分支都被映成一条狭...
清华笔记:计算共形几何讲义 (9)全纯微分-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (9)全纯微分

双全纯函数图1. Escher 效果:双全纯函数是复平面间的共形映射。黎曼面图2. 黎曼面的概念。黎曼面和黎曼度量黎曼面之间的全纯映射图3. 黎曼面间的双全纯映射。亚纯微分黎曼面上的微分形式的定义...
清华笔记:计算共形几何讲义 (10)纪念米尔扎哈尼——泰希米勒(Teichmuller)空间-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (10)纪念米尔扎哈尼——泰希米勒(Teichmuller)空间

多年以前,我还在哈佛求学,导师丘成桐先生叮嘱我要研究柯蒂斯. 麦克马伦(Curtis McMullen)的理论,McMullen用组合的方法来研究共形结构,非常适合计算。丘先生自己也在哈佛的研究生课程上讲解...
清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (11)黎曼映照(Riemann Mapping)的存在性

共形几何中最为大家所熟识的定理大概非黎曼映照莫属,其证明方法也是丰富多彩,各有千秋。这里,我们回忆一下经典的复分析手法,朴素初等,但是非常具有代表性。在复分析中,标准共形映射的存在...
清华笔记:计算共形几何讲义 (12)极值长度-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (12)极值长度

图1. 圆柱面的共形模。拓扑等价的度量曲面是否共形等价,亦即拓扑同胚的带有黎曼度量的曲面间是否存在保角双射,这是一个微妙的问题。几何上,我们需要寻找共形变换下的全系不变量,通过比较不...
清华笔记:计算共形几何讲义 (13)Koebe 迭代收敛性-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (13)Koebe 迭代收敛性

【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】图1. 亏格为0、带有多个边界的曲面到平面圆域(Circle Domain)的...
清华笔记:计算共形几何讲义 (14)共形模的计算-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (14)共形模的计算

【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】我们前面详尽地介绍了各种拓扑曲面共形不变量(共形模)的概念和理...
清华笔记:计算共形几何讲义 (15)拓扑圆盘的调和映照-卡核

清华笔记:计算共形几何讲义 (15)拓扑圆盘的调和映照

图1. 从三维人脸曲面到平面圆盘的调和映照。【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。欢迎任何有兴趣的朋友,前来旁听指导。】我们前面的课程介绍了...